Projection d'une courbe

Soit G une courbe quelconque {fig. 137) ; si le point M décrit la courbe G, la projetante . SM décrit un cône qui est le cône projetant la courbe G ; la projection m de M décrit la courbe d'intersection de ce cône et du plan de projection.

Soient M et N deux points de la courbe G, m et n leurs projections; la droite MN est projetée suivant la droite mn; si N se rapproche indéliniment de M, MN a pour position limite la tangente MT à la courbe G ; le point n se rapprochera aussi indéfiniment du point m, la droite mn aura pour position

Fis;. 137.

limite la tangente mt à la projection c; mn étant toujours la projection de MN, mt sera la projection de MT. Donc :

Si une droite et une courbe sont tangentes en un point M, leurs projections sont tangentes au point m, projection de M.

-Si deux courbes sont tangentes en un point M, leurs projections sont tangentes au point m, projection de M.

277. Supposons que le point M s'éloigne indéfiniment sur la droite D dans lïn sens ou dans Fautre ; la projetante SM a pour position limite la parallèle menée par S à la droite D ; la projection m de M a pour position limite la trace f {fig. 138) de cette parallèle. Ce point f s'appelle le point de fuite de la droite D. Tout se passe donc, aw jooinf rfe vue des projections, comme s'il existait un point à l'infini sur la droite D ; /"est la projection de ce point à l'infini.

Deux droites parallèles ont même point de fuite. Un faisceau de droites parallèles entre elles se projettera suivant des droites qui concourent en leur point de fuite. Au point de vue projectif, ces droites se comportent comme des droites qui concourent en un même point; on peut dire que ces droites ont un point commun à l'infini.

278. Remarque. — Si la droite D est parallèle au plan P, la droite a menée par S parallèlement à D est aussi parallèle au plan P ; le point de fuite f n'existe plus ; on dit qu'il est rejeté à l'infini. La projection rf de D est parallèle à D, car le plan projetant n contenant la droite D parallèle au plan P, coupe ce plan P suivant une parallèle à D [474].

Si l'on considère une série de droites parallèles à D, les projections de ces droites seront parallèles entre elles; on peut encore dire que ces projections concourent en un point à l'infini.

279. Soient Q un plan non parallèle au plan de projection P {fig. 138), Q' le plan mené par le centre S parallèlement au plan Q, L l'intersection de Q' avec P; cette droite L est la ligne de fuite du p\a.n Q.

PROJECTIONS CENTRALES

Soit D une droite du plan Q ; la droite o menée par S parallèlement à D est située dans le plan Q' ; par conséquent, la trace /" de o est située sur L. Donc :

Les points de fuite de toutes les droites d'un plan sont situés sur la ligne de fuite du plan ; ou encore :

Les points à Vin fini sur toutes les droites d'un plan se projettent suivant la ligne de fuite du plan.

Au point de vue projectif, ces points possèdent la même propriété que des points situés en ligne droite. A ce point de vue, on peut dire que les points à lintini d'un plan sont situés sur une droite qu'on appelle la droite à l'infini du plan.

Deux plans parallèles ont même ligne de fuite ; leurs droites à l'infini ont toujours la même projection ; on peut considérer ces droites comme confondues et dire :

Deux plans parallèles se coupent suivant une droite rejetée à l'infini.

Fig. 138.