Du théorème du n° 43, on déduit immédiatement

Le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite est

égal au rapport anharmonique de leurs projections. On exprime ce fait, d'une manière abrégée, en disant que ce

rapport anharmonique est une propriété projective.

Théorème. — Si deux points M et M! décrivent sur des droites D et D' des divisions homographiques, leurs projections m et m' décrivent aussi des divisions homographiques .

En effet, si Mi, Ms, M3, M4 sont quatre points quelconques de la division D, Ml, M'2, M3, M4 leurs homologues sur D', on

aura (18)

(M1M2M3M4) = (MIM^MX) ;

en désignant par m,, W2, mg, rUi, m[, m'2, rrio, ml les projections de ces points, on déduit

mim^m^mi) = (/njm2m3mi),

et par conséquent (19), les points m et m' décrivent des divisions homographiques.

Théorème. — Si deux points M et M! décrivent sur une droite D des divisions en involution, il en est de même de leurs projections m et m' .

En effet, les divisions décrites par m et m' sont homographiques d'après ce qui précède; d'autre part, la correspondance entre M et M' étant réciproque, il en sera de même de celle qui existe entre m et m'; donc m et m' décrivent des divisions en involution.

281. Le théorème établi n° 177 conduit immédiatement au résultat suivant :

Un faisceau plan de quatre droites se j^rojette suivant un faisceau de quatre droites ; le rapport anharmonique des deux faisceaux est le même.

On en déduit comme au numéro précédent :

Deux faisceaux homographiques se projettent suivant deux faisceaux homographiques.

Un faisceau involutif se projette suivant un faisceau involutif .

282. Application. — Théorème de Pappus. — (Voir l'énoncé n*" 56 ; autres démonstrations n°' 56 et 75.)

Pour démontrer que la diagonale BD est divisée harmoniquement par les points H et K où elle rencontre les deux autres diagonales [fig . 139), je prends un centre de projection quelconque S et un plan de projection P parallèle au plan SEF. Les droites AB^ CD se projettent suivant des droites parallèles à SF; de même BG et AD se projettent suivant des droites

PROJECTIONS CENTRALES

parallèles à SE. La figure ABGD se projette donc suivant un parallélogramme abcd. Le point H se projette au point de rencontre h des diagonales, le point K en un point k rejeté à

l'infini sur bd. Les quatre points h, d, h, k forment donc une division harmonique ; donc (280), il en est de même des quatre points B, D, H, K.

Représentation de Tespace sur le plan.

283. Représenter Tespace sur un plan, c'est établir entre les figures de l'espace et celles du plan une correspondance telle qu'à toute figure donnée de l'espace corresponde une figure déterminée du plan, appelée son image, et qu'inversement, l'image étant donnée, la figure de l'espace soit bien déterminée. Il en résulte qu'à toute construction effectuée dans l'espace sur la figure donnée on pourra faire correspondre des constructions effectuées seulement dans le plan. C'est là le but de la géométrie descriptive; nous allons voir qu'on peut réaliser ce but par d'autres méthodes.

Il est clair que le problème sera résolu quand on aura défini l'image d'un point de l'espace.

Nous désignerons par P le plan sur lequel s'effectuent les constructions, plan que nous nommerons le jjlan du tableau ; soient A et B deux points quelconques de l'espace, nous