REPRÉSENTATION DE L ESPACE SUR LE PLAN

désignerons par ab la trace de la droite AB sur le plan du tableau.

Fig. 140.

284. Représentation d'un point. — Donnons-nous arbitrairement deux points S et T {fig. 140), que nous appellerons centres de projection ; soit M un point quelconque. Les projections 5„„ tm du point M, projections ayant respectivement pour centres S et T, sont des

T/ points situés sur une

droite passant par le point St ; car les trois points 5(, s,„, t,n sont sur la trace du plan STM.

Inversement, si l'on se donne les points Sm, tm situés sur une droite passant par St, on peut y faire correspondre un point M de l'espace. En effet, les droites Ss„, et T^^ sont situées dans le plan T, S, s^, s,„, tm ; le point de rencontre M de ces deux droites a pour projections s,,,, et t^.

Ainsi, à tout point M de l'espace on fait correspondre deux points du plan s^i tm, qui S07it les deux projections du point; la droite qui joint ces deux projections passe par un point fixe Sf. Inversement, si Von se donne deux points Sm, tm., situés sur une droite passant par le point fixe St, on pourra leur faire correspondre un point M.

285. Remarque. — Les deux projections d'un point M sont confondues dans les deux cas suivants :

4° Le point M est situé sur la droite ST, les deux projections sont confondues avec St ; ces deux projections ne déterminent plus le point M ;

2° Le point M est situé dans le plan P ; les deux projections sont confondues avec le point M.

PROJECTIONS CENTRALES

286. Représentation d'une droite. — D'après ce qui précède, une droite sera représentée par ses deux projections. Le point de rencontre de ces deux projections est la trace de la droite sur le plan P.

Les deux projections d'une droite sont confoiidues dans les deux cas suivants :

1° La droite rencontre la droite ST. Les deux projections ne suffisent plus alors pour définir la droite. On peut la définir en se donnant les projections de deux de ses points ;

2° La droite est située dans le plan P; les deux projections de la droite coïncident avec la droite elle-même.

. 287. Triangles homologiques. — Marquons les deux projec lions d'un triangle ABC {fig. 141); on obtiendra ainsi deux

triangles SahSc, taUt,, tels que les droites qui joignent les sommets homologues concourent au point s^ les côtés homologues SbSc' et htc se coupent au point 6c, trace de la droite BC ; de même s^ Sa et t^. ta se coupent en ca, trace de CA ; enfin s^s^ et ta tb se coupent au point aè, trace de AB; ces trois traces bc, ca, ab sont situées à Tin, tersection du plan ABC et du plan P ; donc ces trois points sont en ligne droite. Inversement, si deux triangles sont tels que les droites qui joignent les sommets homologues concourent en un même point, on pourra considérer (284) ces deux triangles comme les deux projections d'un même triangle de l'espace. Donc:

Fig. 141.

FIGURES HOMOLOGIQUES

Si les droites qui joignent les sommets homologues de deux triangles concourent en un même point, les deux points de rencontre des côtés homologues sont en ligne droite.

(Autre démonstration, n" 76.)