Projections d'une figure plane. — Soit IT un plan qui
Fig. 14-2.
coupe le plan de projection P suivant une droite L [fîg. 142);
nous allons chercher les relations qui existent entre les deux projections des points de ce plan.
Gomme toujours les deux projections Sm, tra d'un polut M sont sur une droite passant par le point fixe5^. Sinousprenons deux points M et N du plan, les deux projections de la droite MN se coupent sur la trace de cette droite, c'està-dire sur la droite L {/ig. 143).
est donné, le point M est déterminé, car
Fig. 143.
Lorsque le point s,,
494 PROJECTIO^'S CENTRALES
il est à l'intersection du plan n et de la droite Ss,„; il en résulte que le point t,n est déterminé, A chaque point s,„ du plan P on fait correspondre un autre point f™ de ce plan ; cette correspondance possède les deux propriétés suivantes :
1° La droite qui joint deux points correspondants passe par un point fixe St /
2° La droite qui joint deux points quelconques el celle qui joint leurs correspondants se coupent sur une droite fixe L.
289. Définitions, — Si à chaque point d'un plan on fait correspondre un autre point de ce plan, et si cette correspondance possède les deux propriétés précédentes, on dit que la correspondance est homologique. Le point fixe Si est le centre d'homologie, la droite fixe L est l'axe d'homologie .
Si un point décrit une figure F, son correspondant décrit une figure F'; les figures F et F' sont dites homologiques.
290. Remarque, — Une correspondance homologique est définie quand on se donne le centre d'homologie s^, Taxe d'homologie L et le correspondant t,n d'un point 5,„.
Il suffit de montrer qu'on peut construire le correspondant d'un point quelconque ,<?„; pour cela je mène la droite Sj^Sn qui rencontre l'axe en mn. Le correspondant cherché tn est à l'intersection des droites s^s,, et t,nmn {fig. 143),
291. Les deux projections d'un même point d'un plan n sont en correspondance homologique (288) ; nous allons montrer que réciproquement :
Deux points correspondants quelconques d'une correspondance homologique peuvent être considérés comme les deux projections d'un point d'un plan fixe II.
En effet, soit f,„ (fig. 142) le correspondant d'un point s,„ dans une homologie ; par le centre d'homologie St je mène une droite quelconque, non située dans le plan P ; sur cette droite je prends arbitrairement deux centres de projection S et ï. Les points Srn et t^ sont (284) les deux projections d'un point M. Soit alors n le plan mené par l'axe d'homologie et le point M, Les deux projections des points du plan n définissent une cor-
FIGURES HOMOLOGIQUES
respondance horaologique ; cette correspondance sera identique (290) à la correspondance donnée.
292. Soient 0 le point où la droite ST perce le plan il [fîg. 142), [t. le point où la droite sj,,, rencontre l'axe d'homologie. Le point [j. se trouve à l'intersection de OM et de la/ droite L. On aura alors
{St\>.Smtm) = (5^0 ST).
Par conséquent, le rapport anharmonique {st\>.s,Jm) est constant. Cette valeur constante est la constante de t'homologie.
On peut choisir les centres S et T de façon que la constante d'homologie prenne une valeur arbitrairement donnée. Il en résulte une nouvelle détinition de la correspondance hoaiologique :
Etant donnés le centre d'homologie St, l'axe d'homologie L et la constante d'homologie X, pour construire le correspondant d'un point s,n on mène la droite StSm qui coupe l'axe L en [j. et on prend sur cette droite un point /,„ tel que
{StlJ.S„it,n) = X.
Si "k — — 1, au point /^ correspondra le point *,„. Dans ce cas particulier, la correspondance homoIogiqUe est réciproque ; on dit que l'homologie est harmonique.
293. Supposons que le point s,n soit rejeté à l'infini, c'est-àdire que ce point décrive la droite à l'inlini du plan P. Son correspondant tj est tel que l'on a {/ig. 144)
lj.tj l 11 décrit une droite J, parallèle à Taxe L; cette droite J est la droite de la seconde ligure qui correspond à la droite à l'infini de la première. De même, si t^ est rejeté à l'infini, le point Si dont il est le corres-
Fig. 144.
StSi
pondant est tel que l'on a = X.
196 PROJECTIONS CENTRALES
Il décrit par conséquent une droite I parallèle à l'axe L. Cette droite I a pour correspondante la droite à l'infini. -
Ces droites I et J sont les droites limites de l'homologie ; on peut remarquer qu'elles sont équidistantes de la droite A homothétique de L, le centre d'homothétie étant St et le rapport
d'homothétie 7^- •
Si l'homologie est harmonique, les droites limites sont confondues avec A.
294. Si l'axe L est rejeté à l'infini, \i est à l'infini et l'on a
On a une homothétie de centre s, et de rapport X.
Si le centre d'horaologie St est rejeté à l'infini, la droite qui joint deux points correspondants est parallèle à une droite fixe et l'on a [(îg. 145)
Fig. 145. ^^'" y^^
Cette homologie particulière est une dilatation.
EXERCICES (l'-e Série)
1. Étant donné un quadrilatère gauche ABCD, sur les côtés AB, BC, CD, DA on prend des points a, h, c, d situés dans un même plan P; soient a', &', c', d' les conjugués harmoniques de a, b,c,d par rapport aux segments AB, BC, CD, DA. Démontrer que les quatre points a', V , c', d! sont situés dans un même plan P' et que l'intersection des plans P et P' rencontre les diagonales AC et BD du quadrilatère.
2. Dans l'exercice précédent, les droites ac, hd se coupent en un point 0, les droites o!c', Vd' en un point 0'. Démontrer que la droite 00' rencontre les diagonales AC et BD.
3. Construire un quadrilatère gauciie ABCD connaissant les côtés et les angles ABC et BGD.
4. Construire un quadrilatère gauche ABCD connaissant les côtés, l'angle BAD et le dièdre DABC.
5. Sur les côtés AB, CD d'un quadrilatère gauche on prend des
points a et c tels qne
ak cC ,,.
aa CD
Démontrer que toutes les droites ac ainsi obtenues rencontrent une infinité de droites fixes.
6. Soient un trièdre SABC ; Sa, S^, Sy des droites situées dans les faces BSC, CSA, ASB ; Sa' la droite conjuguée harmonique de Sa par rapport aux droites SB, SC ; S^' la conjuguée harmonique de S,3 par rapport à SC et SA; Sy' la conjuguée harmonique de Sy par rapport à SA et SB. Démontrer que si les trois plans ASa, BS^, CSy ont une droite commune, les trois droites Sa', 'à^', Sy' sont situées dans un même plan. — Réciproque.
7. Soient SABC un trièdre, G un point quelconque. Mener par le point G un plan coupant le trièdre suivant un triangle ABC ayant son centre de gravité au point G.
8. Étant donnés deux trièdres SABC, SA'B'C, démontrer que si les plans ASA', BSB', CSC ont une droite commune, les droites d'intersection des faces BSC, B'SC, CSA, CSA', ASB, A'SB' sont trois droites situées dans un même plan. — Réciproque.
9. Soient Sa, S?v, Se les bissectrices intérieures des faces BSC. CSA, ASB d'un trièdre ; Sa, Sj3, Sy des droites situées respectivement dans ces faces ; Sa', S[i', Sy' les symétriques des droites S», sp, Sy prises respectivement par rapport aux droites Sa, S&, S^. Démontrer que si les plans ASa, BS[i, CSy ont une droite commune, il en est de même des plans ASa', BSS', CSy'.
10. Soient ^, tq, "Q, 1, [x, > des points situés sur les arêtes AB, AC, AD, CD, DB, BC d'un tétraèdre ABCD ; \', r/, C, X', ^', v' les conjugués harmoniques de ces points par rapport aux segments AB, AG, AD, CD, DB, BC. Démontrer les propriétés suivantes :
ïm
10 Si les droites ^X, r^fjL, Çv concourent en un même point, les six points ^', r/, Ç', À', ix', v' sont situés dans un même plan ;
2° Si les droites ?À, v)|jl, Çv sont concourantes, les six points ^, 7), Ç, X', i-»-', v' sont dans un môme plan ;
3° Dans les mêmes conditions, les trois droites X^', M'> ^'^' sont concourantes.
11. Si a, (i, y, S sont quatre coefficients quelconques et si l'on détermine les points ?, v), l, X, [i, v de telle sorte que
a.^A + ^.^B = 0, a.r;A-f-Y.ïiG = 0, a.ÇA + S.ÇD = 0,
Y.XG + 5.XD = 0, S.[jiD + ^.[xB = 0, ^.vB-h y.vG = 0,
les droites ?X, r;[x, Çv sont concourantes. Si a + j3 H- y4- 2 = 0, ces droites sont parallèles.
