Si dans un tétraèdre ABCD, on a

ABXGD = ACxDB = ADXBC, les droites qui joignent les sommets aux centres des cercles inscrits dans les faces opposées sont concourantes. — Réciproque.

13. Les plans qui bissectent extérieurement les dièdres d'un tétraèdre rencontrent les arêtes opposées en six points situés dans un même plan.

14. Trouver les relations qui doivent exister entre les longueurs des arêtes d'un tétraèdre pour qu'il existe une sphère tangente à ces six arêtes. Démontrer que les droites qui joignent les points de contact sur les arêtes opposées sont concourantes. Les plans tangents à la sphère menés par chaque arête rencontrent l'arête opposée en six points situés dans un même plan.

15. Soient ?, vj, Ç, X, (i, v les milieux des arêtes AB, AG, AD, CD, DB, BC d'un tétraèdre. Si -/)[j.= Çv, les arêtes AB et CD sont orthogonales.— Réciproque. En conclure que si les couples AB, CD et AC, BD sont des arêtes orthogonales, il en est de même de AD et BC.

16. Pour que les arêtes opposées d'un tétraèdre soient orthogonales, il faut et il suffit que

; rB^+CD^ = IG^ + BD^ = ÂD^ + BC^

EXERCICES 19y

17. Si les arêtes opposées d'un tétraèdre sont orthogonales, les milieux des arêtes, les pieds des perpendiculaires communes aux arêtes opposées sont 12 points d'une même sphère.

18. Si les arêtes opposées d'un tétraèdre sont égales, chaque sommet se projette sur la face opposée en un point qui est le symétrique du point de rencontre des hauteurs de cette face par rapport à son centre de gravité. — Réciproque.

19. Soient ABC un triangle, H le point de concours des hauteurs, ka une hauteur. On mène par le point H une perpendiculaire au plan ABC et on prend sur cette perpendiculaire deux points D et E tels que

HDXHE = — HAXHa.

Démontrer que les cinq points A, B, C, D, E possèdent les propriétés suivantes :

1° La droite qui joint deux quelconques de ces points est perpendiculaire au plan qui contient les trois autres; elle passe par le point de rencontre des hauteurs du triangle formé par ces trois points;

2° Quatre points quelconques sont les sommets d'un tétraèdre à arêtes opposées orthogonales ; le cinquième point est le point de concours des hauteurs de ce tétraèdre.

, 20. Soient OR la résultante de deux vecteurs OA et OB, ORi celle des vecteurs OAi et OB^. Démontrer que

(OR) X (ORi) = (OA) X (OAi) + (OA) x (OBi)

-h (OB) X (OAi) + (OBi) X (OAi).

21. Soient Ox, Oy deux demi-droites formant entre elles l'angle 6, X et Y les composantes d'un vecteur OR suivant ces deux droites.

Démontrer en s'appuyant sur les relations précédentes que

ÔR^ = X2 -^ Y2 + 2XY cos 6 .

22. Soient X, Y les composantes d'un vecteur OR suivant Ox, Oy ; Xi, Yi celles d'un vecteur ORi. Démontrer que pour que les deux vecteurs OR, ORi soient rectangulaires, il faut et il suffît que

XXi + YYi -h (XYi -4- YXi) cos 0 = 0 . .

23. Déterminer un vecteur situé dans le plan ABC connaissant ses moments par rapport aux points A, B, C.

24. Soient OR la résultante de deux vecteurs OA et 08, OiRi celle des vecteurs OiAi et OiBi. Démontrer que

(OR, OiRi) = (OA, OiAi) -4- (OA, OiB.) + (OB, 0,Ai) + (OB, OiBi). Lanotation (OA, OiAi) représente le moment relatif des vecteurs OA,OiAi.

25. Tout vecteur situé dans le plan ABC peut être décomposé en trois autres dirigés suivant les côtés du triangle ABC, Démontrer que cette décomposition n'est possible que d'une seule manière,

26. Tout vecteur peut être décomposé en six autres dirigés suivant les six arêtes d'un tétraèdre. Cette décomposition ne peut se faire que d'une seule manière. Relation entre les six composantes.

27. Relation entre les moments d'un même vecteur par rapport aux six arêtes d'un tétraèdre.

28. Étant donnés un système de vecteurs et un plan P, démontrer qu'en général il existe dans le plan P un point 0 et un seul tel que le moment résultant du système par rapport au point 0 soit normal au plan P. Lieu du point 0 quand le plan P se déplace parallèlement à lui-même.

29. Si l'on réduit un système à deux vecteurs, la perpendiculaire commune à ces deux vecteurs rencontre à angle droit l'axe central ,

30. Enveloppe des droites d'un plan P pour lesquelles le moment d'un système de vecteurs a une valeur donnée.

31. Sur les milieux des côtés d'un triangle on élève des perpendiculaires aux côtés ; sur ces perpendiculaires on prend des vecteurs tous dirigés vers l'intérieur du triangle, proportionnels aux côtés correspondants. Montrer que le système ainsi obtenu est équivalent à zéro.

Même conclusion en remplaçant le triangle par un polygone plan.

32. Sur les hauteurs d'un triangle on porte des vecteurs dirigés vers l'intérieur du triangle et proportionnels aux côtés opposés. Démontrer que ces vecteurs forment un système nul.

33. Conditions nécessaireè et suffisantes pour que trois vecteurs forment un système équivalent à zéro.

34. Lorsque des vecteurs sont situés dans un même plan, ils forment un système équivalent à un vecteur unique, à un couple, ou à zéro.

35. Les trois vecteurs AB, BC, CA forment un système équivalent à un couple. Quel est l'axe du couple?

36. Si sur les côtés d'un polygone gauche on porte, dans un même sens de circulation, des vecteurs égaux aux côtés, on forme un système équivalent à un couple. La projection de l'axe du couple sur une droite D est le double de l'aire de la projection du polygone sur un plan n perpendiculaire à D.

37. Étant donné un tétraèdre ABCD, les deux systèmes de vecteurs AB, DC et AC, DB ont même résultante générale.

Quelle est la direction de cette résultante générale?

38. On considère des vecteurs Vi, Va, ..., V„, situés dans un plan P, appliqués en des points Ai, A2, . . ., hn de ce plan, admettant une résultante R. Démontrer que si l'on fait tourner tous les vecteurs d'un même angle autour de leur point d'application, leur résultante R tourne autour d'un point fixe. On démontrera d'abord le théorème dans le cas de deux vecteurs.

39. Soient Ai, A2, . . . , A„ des points ayant pour masses /ni, m^, . . ,, m„, G le centre de ce système de points, M la masse totale du système, 0 un point quelconque. Sur les directions OAi, OA2, . . ., OAra on porte des vecteurs OA^, OA2, . . ., OA,'j, égaux en valeur algébrique à miOAi, W2OA2, ...,mnOAn. Démontrer que la résultante de ces vecteurs est dirigée suivant OG et égale à MXOG.

40. Étant donnés cinq points quelconques, on mène la droite qui joint le milieu du segment déterminé par deux de ces points au centre de gravité du triangle formé par les trois autres. Démontrer que toutes les droites que l'on peut construire ainsi sont concourantes.