Construire l'intersection d'un plan et d'une droite

50. Étant données les deux projections d'un point, trouver ses nouvelles projections quand on change de point de vue. . ,:,

51. Étant donnés cinq points quelconques et un plan P, construire la figure formée par les traces sur le plan P des droites qui joignent les cinq points pris deux à deux, de toutes les manières possibles. Montrer que chaque point de cette figure est le centre d'homologie de deux triangles de la figure.

52. Faire la même construction dans le cas où l'on donne six points au lieu de cinq. -- Propriétés de la figure ainsi construite.

53. Deux cercles quelconques peuvent être considérés comme deux figures homologiques, le centre d'homologie étant l'un des centres de similitude, et l'axe d'homologie, l'axe radical des deux cercles.

EXERCICES (2e série).

1. Établir les relations qui existent entre les côtés, les angles et "lés dièdres d'un quadrilatère gauche.

2. Soient M et M' deux points qui décrivent des divisions homographiques sur des droites quelconques D et D'. Démontrer que toutes les droites MM' rencontrent une infinité de droites fixes.

Soient A une de ces droites, N son point de rencontre avec MM'. Démontrer que M et N décrivent des divisions homographiques.

3. Soient P et P' les plans correspondants de deux faisceaux homographiques d'axes quelconques D et D'. Les droites d'intersection de P et P' rencontrent une infinité de droites fixes.

4. Soient D et D' deux axes quelconques, P un plan passant par D, P' le plan mené par D' perpendiculairement au plan P. Démontrer que P et P' décrivent des faisceaux homographiques. Dans quel cas obtient-on une correspondance singulière ?

5. Soient D et D' deux axes situés dans un même plan n; par les axes D et D' on mène des plans P et P' tels que le rapport

tg(P,n)

tg(P',n)

soit constant. Démontrer que la droite d'intersection des plans P et P' décrit un pian perpendiculaire au plan n.

6. Soient P et P' deux plans qui se coupent suivant une droite L, S un point de L ; par le point S on mène respectivement dans les plans P et P' des droites SA, SA' telles que le rapport

tgASL

tg A'SL soit constant. Démontrer que le plan ASA' tourne autour d'une droite fixe perpendiculaire à L.

7. Étant donnés deux axes quelconques D et D', on fait tourner autour de ces axes des plans rectangulaires, lieu des traces de l'intersection de ces deux plans sur un plan perpendiculaire à l'axe D.

8. Étant donnés deux plans P et P' qui se coupent suivant une droite L, autour d'un point A de la droite L on fait tourner un angle droit xky ayant un côté kx dans le plan P et le côté ky dans le plan P' ; le côté kx rencontre une droite fixe D du plan P en M; le côté ky rencontre une droite fixe D' du plan P' en M'. Démontrer que les points M et M' décrivent des divisions homographiques .

9. Étant donnés deux plans P et P' qui se coupent suivant une droite L, par un point A du plan P on mène une droite quelconque AM de ce plan, par un point A' on mène dans le plan P' une droite A'M' perpendiculaire à AM. Démontrer que les points M et M' où ces droites rencontrent la droite L décrivent des divisions homographiques. Dans quel cas la correspondance entre M et M' est-elle involutive ?

10. Soit D un axe ; à chaque point M de l'axe on fait correspondre un plan a passant par l'axe : cette correspondance s'appelle une corrélation. La corrélation est dite linéaire si le rapport anharmonique de quatre points quelconques de l'axe est égal au rapport anharmonique des plans qui leur correspondent. Cela posé, on propose de démontrer les propriétés suivantes:

1» Une corrélation linéaire est définie quand on se donne les plans qui correspondent à trois points de l'axe ;

2° Soient M et M' deux points de l'axe, \i- et \i! les plans correspondants de la corrélation ; si les points M et W décrivent des

divisions homographiques, les plans u et li.' forment des faisceaux homographiqiies, et inversement ;

3° Si M et M' décrivent des divisions en involution, les plans i-i et IJ-' forment des faisceaux en involution.

11. Deux corrélations linéaires de même axe ont deux couples communs, c'est-à-dire qu'il existe deux points A et B de Taxe auxquels correspond le même plan dans les deux corrélations.

12. Dans une corrélation linéaire, on appelle plan central le plan ■K qui correspond au point à l'infini sur l'axe, point central le point C qui a pour correspondant un plan perpendiculaire à tt ; soient alors M un point quelconque de l'axe, p. le plan qui lui correspond. Démontrer que le rapport

Cot (tt, ji.)