CM

est constant.

13. Étant donnés un trièdre SABC et l'axe SO d'un faisceau de plans involutif, on prend l'intersection Sa de la face BSG avec le plan conjugué du plan OSA dans l'involution ; on construit de même les droites analogues S[i, Sy. Démontrer que les trois droites Sa, Sp, Sy appartiennent à un même plan.

14. Etant donnés un trièdre SABC, un plan P passant par le sommet S et dans ce plan un faisceau involutif de centre S, soient Sa la droite conjuguée de l'intersection de la face BSC avec le plan P ; Sp, Sy les droites analogues. Démontrer que les plans ASa, 6S^, CSy ont une droite commune.

15. Soient a, ^, y des plans menés par les arêtes SA, SB, SC d'un trièdre, a', P', y' les symétriques de ces plans par rapport aux plans bissecteurs des dièdres SA, SB, SC. Démontrer que : i° si les plans a, p, y ont une droite commune, il en est de même des plans a', ^', y' ; 2° si les plans a, j3, y coupent les faces BSC, CSA, ASB suivant trois droites d'un môme plan, il en est de même des plans a', ^', y'.

16. Soient ABC un triangle, M un point de son plan, a, p, y les points de rencontre respectifs des droites AM, BM, CM avec les côtés BC, GA, AB, a', ^', y' les conjugués harmoniques des points a, p, y par rapport aux segments BC, CA, AB ; on sait que

les points a', ^', y' sont situés sur une même droite [j. qu'on appelle la polaire du point M par rapport au triangle ABC. Cela posé, soient ABCD un tétraèdre, a, b, c, d des points pris dans les faces opposées aux sommets A, B, C, D ; a, p, y, 5 les polaires des points a, h, c, d par rapport au triangle de chaque face correspondante. Démontrer que si les droites Aa,B&, Ce, Drf forment un quadruple hyperboloïde, il en est de même des droites a, p, y, 8. — Béciproque.

17. Soient ABC un triangle, M un point de son plan, a, p, y les points de rencontre respectifs des droites A!V1,BM, CM avec les côtés BG, CA, AB, a', P' y' les symétriques respectifs des points a, p, y par rapport aux milieux des côtés BC, CA, AB ; on sait que les droites Aa', Bp', Cy' concourent en un point M' appelé l'inverse de M. Cela posé, soient ABCD un tétraèdre, a, b, c, d des points pris dans les faces opposées aux sommets A, B, C, D, a', b', c'^d' les inverses des points a, b, c, d par rapport au triangle de chaque face correspondante. Démontrer que si les droites Aa, B&, Ce, Drf forment un quadruple hyperboloïde-, il en est de même des droites Aa', Bô',Cc', X)d'.

18. Si les droites qui joignent les sommets homologues de deux tétraèdres forment un quadruple hyperboloïde, il en est de môme des droites d'intersection des faces homologues. — Béciproque.

19. Les plans tangents menés par les sommets d'un tétraèdre à la sphère circonscrite coupent les faces opposées suivant quatre droites qui forment un quadruple hyperboloïde. Cas oui ces quatre droites ne forment pas un véritable quadruple hyperboloïde.

20. Soient OR la résultante de trois vecteurs A, B, C, ORi celle de trois vecteurs Ai, B,, Ci. Démontrer que

(OB) X (ORi) = (A) X lAi) + (A) X (Bi) -h (A) X (Ci) + (B) X (Ai) -J- (B) X (Bi) + (B) x(Ci) -h (G) X (Al) -h (C) X (Bi) + (C) X (C,)..