Soit Oxyz un trièdre ; posons

2/0- =: X, zOx = [X, xOy = V.

Si X, Y, Z sont les composantes d'un vecteur OR suivant les directions Oj;, 0^, 0;r, démontrer, comme application de la formule précédente (exercice 20), la formule

OR^ = X^ -+- Y^ + Z^ -t- 2YZ cos X + 2ZX cos [jl + 2XY cos v.

22. Les notations étant les mêmes que dans l'exercice précédent et Xi,Y,,Zi étant les composantes d'un vecteur ORi, démontrer, comme application de la formule de l'exercice 20, que la condition pour que les vecteurs OR et ORi soient rectangulaires est

XXi + YYi + ZZi + (YZj + ZYi) cos X

+ (ZX, + XZi) cos iJ. + (XYi + YXj) cos v = 0.

23. Etant donnés deux vecteurs AA' et BB', on considère tous les vecteurs LL' tels que

vol. (AA', LL') = k vol. (BB', LL'), h étant une constante donnée. Démontrer que :

1" Les vecteurs LL' qui passent par un point fixe P sont situés dans un plan n. — Ce plan n est appelé le^Zan polaire du point P ;

2» Les vecteurs LL' qui sont situés dans un plan fixe n passent par un point P de ce plan. — Ce point P est appelé le pôle du plan n ;

30 Si un point B est situé dans le plan polaire a du point A, inversement le point A est situé dans le plan polaire ji du point B ;

4° Si A décrit une droite D, son plan polaire a tourne autour d'une droite A. Le pôle de tout plan passant par D est situé sur la droite A. Ces droites D et A sont dites conjuguées ;

5° Deux couples de deux droites conjuguées forment un quadruple hyperboloïde.

24. Étant donnés deux vecteurs OA et OB, on considère tous les vecteurs V pour lesquels la grandeur géométrique OR et le moment résultant OG par rapport au point 0 satisfont à la condition