OA) X (OR) + (OB) X (OG
Démontrer que ces vecteurs possèdent les mêmes propriétés que ceux de l'exercice précédent.
Démontrer, en outre, qu'il existe une droite D telle que la projection de chaque vecteur V sur D soit dans un rapport constant avec le moment de ce vecteur par rapport à la droite D.
25. Étant donnés deux points A et B, on prend les points I et 1' qui partagent le segment AB dans le rapport -q- > et on considère tous les vecteurs V tels que le rapport des grandeurs de leurs
Ot
moments par rapport aux points A et B soit égal à — .
Démontrer que les plans (I, V) et d', V) sont rectangulaires. En conclure :
1° Que les vecteurs V qui passent par un point S engendrent un cône ayant ses sections circulaires perpendiculaires aux droites SI et Sr ;
2° Que les vecteurs V qui sont situés dans un plan n enveloppent une conique ayant pour foyers les projections des points I et r sur le plan n.
Indiquer ce qui arrive lorsque le point S est situé sur la sphère qui a pour diamètre II' ou lorsque le plan n est tangent à cette sphère.
26. Étant donné un trièdre Sxys, on le coupe par un plan qui rencontre les arêtes Sx, Sy, Ss en A, B, C ; sur les arêtes du trièdre supplémentaire SXYZ, on porte des segments Sa, Sb, Se proportionnels aux aires BSC, CSA, ASB. Démontrer, par la théorie des produits géométriques, que la résultante des vecteurs Sa, Sb, Se est normale au plan ABC.
Démontrer aussi ce théorème par la théorie des couples. Étendre ce théorème au cas d'un angle polyèdre quelconque.
27. Démontrer que la condition nécessaire et suftisante pour qu'un système de vecteurs soit équivalent à zéro est que la somme des moments de tous les vecteurs du système par rapport à chacune des arêtes du tétraèdre soit nulle.
28. Condition nécessaire et suffisante pour que l'on puisse placer sur quatre droites quatre vecteurs formant un système nul.
29. Par les centres de gravité des faces d'un tétraèdre on mène des perpendiculaires à ces faces ; sur ces perpendiculaires on prend des longueurs proportionnelles aux aires de ces faces. Démontrer que les quatre vecteurs ainsi construits forment un système équivalent à zéro.
30. Sur les hauteurs d'un tétraèdre on porte des vecteurs proportionnels aux aires des faces opposées. Démontrer que ces quatre vecteurs forment un système nul.
31. Soient OR la grandeur géométrique et OG le moment résultant par rapport à 0 d'un vecteur V; il existe un vecteur Vi qui a pour grandeur géométrique OG, et pour moment par rapport k 0, OR. Comment sont placés ces deux vecteurs V et Vi l'un par rapport à l'autre ?
Démontrer que si A et B sontdeiix vecteurs quelconques, A, et Bi les vecteurs qui leur correspondent par la méthode précédente, le moment relatif de A et B est le même que celui de Ai et Bi.
32. Étant donnés un système de vecteurs et une droite D, on peut, en général, réduire le système à deux vecteurs dont l'un est porté sur la droite D. — Cas d'exceptions.
33. On considère des vecteurs V'i, V2, ..., V„, situés dans un plan P et appliqués en des points Ai, A», ...,A,i; soit xOy un angle droit tracé dans le plan P ; on décompose chaque vecteur Vj en deux vecteurs R; et Si appliqués en A,-, parallèles respectivement à Ox et 0(/ ; soient r le centre des vecteurs parallèles Ri et s le centre des vecteurs parallèles S?.
Démontrer que si l'on fait tourner l'angle droit xOy, les points r et s décrivent une droite et sont en correspondance involutive. On se place dans le cas où la résultante générale de Vi, ..., V„ n'est pas nulle.
34. Étant donnés un système de vecteurs Vi, V2, ..., V„ appliqués en des points Ai, A2, . . ., An et un trièdre trirecfangle Oxyz, on décompose chaque vecteur V, en trois autres P,-, Q;, Rj appliqués en A; et parallèles aux arêtes Oo:, Oy, Qz. Soient p, q, r les centres respectifs des systèmes de vecteurs parallèles P,, Qv^ R;; démontrer que si le trièdre Qxyz tourne autour du point 0, les points p., q, r se déplacent, en général, dans un plan.
35. Étant donnés un système de vecteurs et un plan P, on peut, en général, réduire le système à deux vecteurs, l'un situé dans le plan P et l'autre normal à ce plan. Examiner les cas où le plan P est normal ou parallèle à la résultante générale.
36. Étant donné un triangle ABC, on prend sur les côtés BC, CA, AB des points a, p, y tels que les droites Aa, B|3, (>; soient concourantes; soient a', [i', y' les conjugués harmoniques de a, p, y par rapport à BC, CA, AB. On considère des segments au', bb\ ce', respectivement conjugués par rapport aux segments aa', (^(3', yy'. Démontrer que : 1° si les trois points a, b, c sont en ligne droite, il en est de même des points a', b', c ; 2° si les droites Aa, B6, Ce sont concourantes, il en est de même de Aa', B6', Ce'. (On projette de façon à faire passer la droite a'p'y à l'infini.)
GOICHARD. — TRAITÉ DE GÉOM. U 14
«SîÔ EXERCICES
37. Déduire âe l'exercice précédent les deux théorèmes suivants :
1° Étant donnés quatre points A, B, C, D, les polaires d'un point quelconque M par rapport aux couples de droites : AB, CD ; AC, BD ; AD, BG sont trois droites concourantes.
2° Étant données quatre droites quelconques A, B, C, D, on considère les trois couples de points AB, CD ; AC, BD ; AD,BC. Sur la droite qui joint chaque couple de points on prend le conjugué harmonique par rapport au couple de son point de rencontre avec une droite L ; les trois points ainsi obtenus sont en ligne droite.
38. Étant donnés deux angles AOA', BOB', situés dans un même plan, projeter ces deux angles suivant deux angles droits. Condition de possibilité. — Lieu du point de vue quand on connaît en outre le plan de projection.
39. Étant donnés un triangle ABC et un point D de son plan, faire une projection telle que la projection de D soit le point de rencontre des hauteurs de la projection du triangle ABC.
40 Étant donnés quatre points A, B, C, D situés dans un même plan, et une droite quelconque L de ce plan, on prend sur les droites AB, CD, AC, BD, AD, BC, les points a, a\ b, b', c, c' qui sont par rapport à ces segments les conjugués harmoniques de leur point de rencontre a.vec L. Démontrer que les trois droites aa', bb', ce' concourent en un même point 0.
