COMPLÉMENTS AU LIVRE VII

295. Définitions. — Soient 0 le centre d'une sphère, R son rayon^ P un point quelconque [fig. 146). Sur la droite OP prenons un point Q tel que le produit OPXOQ soit égal à R^ ; par le point Q menons un plan D perpendiculaire à la droite OP. Le plan D ainsi construit est \e plan polaire du point P par rapport à la sphère.

Inversement , si D est un plan

quelconque, abaissons du centre 0

'^* ^ ■ de la sphère la perpendiculaire OQ

sur ce plan ; prenons sur OQ un point P tel que le produit

OPxOQ soit égal à R^. Le point P ainsi construit est le /?(5/e

du plan D par rapport à la sphère.

Si le point P est extérieur à la sphère, le point Q est à l'intérieur et le plan polaire coupe la sphère. Si le point P est sur la sphère, il en est de même du point Q ; le plan polaire est tangent à la sphère. Si le point P est intérieur à la sphère, le point Q est extérieur.; le plan polaire ne coupe pas la sphère >

Quand le point P se rapproche du point 0, le point Q s'en éloigne ; quand P vient en 0, Q est rejeté à l'infini, le plan polaire est rejeté à l'infini.

296. Remarque. — Soit D le plan polaire du point P par rapport à une sphère de centre 0. Si l'on coupe la figure par un plan quelconque mené par OP, la sphère est coupée suivant un grand cercle G et le plan D suivant une droite a ; la droite A sera (80) la polaire du point P par rapport au cercle G.

De cette remarque et des résultats établis (Première section. — €hapitre V) découlent les conclusions suivantes :

Le conjugué harmonique d'un point P par rapport aux deux points où une sécante quelconque issue de P coupe une sphère est situé sur le plan polaire du point P par rapport à cette sphère.

Si le point P est extérieur à la sphère, le plan polaire du point P est le plan de contact du cône circonscrit à cette sphère qui a le point P pour sommet.

Les plans polaires de tous les jjoints d'un plan passent par le pôle de ce plan; inversement, les pôles de tous les plans qui passent par un point sont situés sur le plan polaire de ce point.

Si un point B est situé sur le plan polaire d'un point A, inversement, le point A est sur le plan polaire du point B.

Deux points tels que le plan polaire de l'un passe par l'autre sont dits conjugués par rapport à la sphère.

Si un plan ^ passe par le pôle d'un plan a, inversement, le plan a passe par le pôte du plan p.

Deux plans tels que le pôle de l'un soit situé sur l'autre sont dits conjugués par rapport à la sphère. .

; 297. Théorème. — Les plans polaires de tous les points d'une droite D passent par une même droite D'; les pôles de tous les plans passant par la droite D sont situés sur cette droite D'.

En effet, soient P et Q deux plans menés par D, p et g leurs pôles, D' la droite pq, ]j. un point quelconque de la droite D. Le point [x étant situé dans le plan P, son plan polaire passera par p (296) ; on voit de même qu'il passe par q ; ce plan polaire contient donc la droite D'.

Soient maintenant M un plan passant par D, A et B doux points de cette droite. Le plan M contenant le point A, sôii pôle est situé sur le plan polaire a du point A; on voit de même qu'il est situé sur le plan polaire b du point B ; mais les plans a et b passent par la droite D', donc le pôle du plan M est situé sur D'.

298. Droites réciproques. — Ces deux droites D et D' qui sont telles que le plan polaire d'un point de l'une passe par l'autre et que le pôle d'un plan passant par l'une est situé sur l'autre, sont appelées droites réci'proques par rapport à la sphère.

On obtient la réciproque d'une droite D : 1° en menant la droite qui joint les pôles de deux plans quelconques passant par la droite D; 2° en prenant l'intersection des plans polaires de deux points quelconques de la droite D.

299. Soient D et D' deux droites réciproques, n un plan mené par D qui coupe la sphère suivant un cercle G, A le point d'intersection du plan IJ et de la droite D'. Le point A est le pôle de D par rapport au cercle G. En effet, la polaire de A par rapport à ce cercle doit se trouver à la fois dans le plan polaire de A par rapport à la sphère et dans le plan ri ; c'est donc la droite D.

300. Position relative de deux droites réciproques. — Menons le plan qui passe par le centre de la sphère et la droite D

j) [fig. 147) ; ce plan coupe la sphère

suivant un grand cercle G ; soit Q le pôle de D par rapport à ce grand cercle.

Les plans polaires de tous les

points de la droite D passent par Q

et sont perpendiculaires au plan de

'^" ■ la figure; la droite D' est la droite

menée par Q perpendiculairement au plan de la figure. Donc :

Deux droites réciproques sont rectangulaires ; leur perpendi-

culaire commune passe par le centre ; le produit OP X OQ des distances du centre aux deux droites est égal au carré du rayon. Il résulte de là que si la droite D est extérieure à la sphère, la droite D' coupe cette sphère. Les plans tangents aux points d'intersection passeront par D, car le plan polaire d un- point d'intersection est le plan tangent en ce point.