Extension de la théorie. — Soient 0 un point fixe, P

un point quelconque {fig. 148) ; sur le prolongement de la

droite PO prenons un point Q tel que

la valeur absolue du produit OPxOQ

soit égale à R% c'est-à-dire en donnant

, des signes aux segments, tel que

^ ^ OPxOQ = — R2.

Par le point Q menons un plan D ^. ,,„ perpendiculaire à la droite OP. Ce

rlg. 148. ^ ^

plan D est, par définition, le plan polaire du point P par rapport à une sphère imaginaire, qui a pour centre 0 et pour rayon R^.

On définit de même le pôle d'un plan quelconque par rapport à cette sphère.

Toutes les propriétés établies dans le cas des sphères réelles, sauf bien entendu celles qui se rapportent aux points de rencontre d'une sécante et de la sphère, subsistent.

302. Tétraèdre conjugué par rapport à une sphère. ■ — Considérons une sphère réelle ou imaginaire qui a pour centre 0. Soient A un point quelconque, a son plan polaire par rapport à la sphère. Sur le plan a prenons un point quelconque R; le plan polaire p de ce point R passe par A et coupe le plan a suivant une droite d. Sur la droite d prenons un point quelconque C ; le plan polaire y du point C passe par les points A et R et coupe la droite d en un point D. On forme ainsi un tétraèdre ARCD qui possède les propriétés suivantes :

1° Chaque sommet est le pôle de la face opposée par rapport à -la sphère. "

Gela résulte de ce qui vient d'être dit pour les sommets A^BjC; d'autre part, le sommet D est situé dans les plans polaires a, p, y des points A, B, G; donc le plan polaire du point D passe par les points A, B, G.

2° Chaque arêle est réciproque de l'arête opposée par rapport à la sphère.

En effet, la droite réciproque de AB par rapport à la sphère est l'intersection des plans polaires de A et B par rapport à cette sphère, c'est-à-dire l'intersection des plans BCD et CDA ; la réciproque de AB est donc la droite CD.

Il en résulte les propriétés suivantes :

1° Les quatre hauteurs du tétraèdre concourent au centre 0 de La sphère.

Il suffit, pour le démontrer, de remarquer que la perpendiculaire menée d'un point sur son plan polaire passe par le centre de la sphère.

2° Les perpendiculaires communes aux arêtes opposées passent par le centre 0 de la sphère.

. En effet, la perpendiculaire commune à deux droites réciproques passe par le centre de la sphère.

Un tétraèdre, tel que celui que nous venons de définir, est dit conjugué par rapport à la sphère.

303. Nous avons vu (201) que si deux couples d'arêtes opposées d'un tétraèdre sont orthogonales, il en est de même des arêtes du troisième couple. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier qu'un tel tétraèdre est toujours conjugué par rapport à une sphère réelle ou imaginaire.