CHAPITRE II

FIGURES INVERSES DANS L'ESPACE

304. Les définitions des figures inverses planes (119) s'appliquent, sans aucune modification, aux figures de l'espace.

305. Deux couples de points inverses, non situés sur un même rayon vecteur, appartiennent à un même cercle.

Les tangentes à des lignes inverses en des points correspondants sont les côtés d'un triangle isocèle ayant pour base le rayon vecteur. (Même démonstration qu'au n° 120.)

306. Corollaire. — L'angle de deux courbes qui se coupent en A {ftg. Ii9) est égal à l'angle de leurs inverses au point A' inverse de A.

En effet, soient AR, AS les tangentes aux deux courbes en A, A'R', A'S' les tangentes à leurs inverses en A'. Les deux angles RAS, R'A'S' sont égaux, car leurs côtés correspondants sont symétriques par rapport au plan n, mené perpendiculairement à AA' en son milieu.

Fig. 149.

307, Le plan tangent à une surface en un point A et le plan tangent à la surface inverse au point correspondant A' sont également inclinés sur le rayon vecteur AA',

FIGURES INVERSES DANS l'eSPACE 219

En effet, traçons sur la première surface deux courbes passant par A; leurs inverses seront des courbes tracées sur la seconde surface et passant par A'. Soient AR et AS les tangentes aux deux premières courbes, A'R' et A'S' les tangentes à leurs inverses; le plan tangent à la première surface est le plan ARS; le plan tangent à la seconde est le plan A'R'S'. Ces deux plans sont symétriques par rapport au plan n (306), par conséquent ils sont également inclinés sur la droite AA'.

308. Définitions. — L'angle d'une courbe et d'une surface en un point d'intersection A est l'angle que fait la tangente à la courbe avec le plan tangent à la surface en ce point.

L'angle de deux surfaces en un point commun A est l'angle que font les plans tangents aux surfaces en ce point.

309. Théorèmes. — L'angle d'une courbe et d'une surface en un point commun A est égal à l'angle de leurs inoerses au point correspondant A',

L'angle d& deux surfaces en un point commun A est égal à l'angle de leurs inverses au point corr^espondant A'.

Il suffit de remarquer, comme au n"» 306, que les angles dont il s'agit de démontrer l'égalité sont symétriques par rapport au plan n.

310. Si W et N' sont les inverses des points M et N parrapport à l'origine 0 et à la puissance d'inversion X, on a

MW^MNx ,, ^ ^., ♦ UM X ON

Même démonstration qu'au n° 122.