Théorème. — Deux figures F', F", inverses d'une figure

F par rapport à la même origine 0, sont homothétiques . Le

centre de similitude est le point 0, le rapport de similitude de F'

-y à F" est -^^ X' et X" étant les puissances d'inversion qui cor-

respondent aux figures F' et F".

Même démonstration qu'au n» 123.

FIGURES INVERSES DANS L'ESPACE

312. Théorème. — La figure inverse d'un plan est une sphère passant par l'origine.

Nous laissons de côté le cas où le plan passe par l'origine; dans ce cas particulier la figure inverse est le plan lui-même.

De l'origine 0 menons la perpendiculaire OP au plan {fig. 150); soit P' l'inverse du point P. Si par la droite OP on mène un plan quelconque n, il coupe le plan donné suivant une droite L dont l'inverse est (124) un cercle ayant pour diamètre OP'.

En faisant tourner le plan n autour de OP, ce cercle décrit la sphère quia pour diamètre OP'; c'est la figure inverse du plan.

313. Réciproque. — La figure inverse d'une sphère passant par l'origine est un plan.

Soient OP' le diamètre de la sphère qui passe par l'origine 0 {fïg. 150), P l'inverse du point P'. Par la droite OP menons un plan quelconque il; il coupe la sphère suivant un cercle dont l'inverse est (125) la droite PL per pendiculaire à la droite OP. Si le plan ii tourne autour de la droite OP, la droite OL décfit un plan perpendiculaire à OP ; c'est la figure inverse de la sphère.

314. Remarque. — Un plan et une sphère peuvent, en général, être considérés, de deux manières distinctes, comme des figures inverses.

Même démonstration qu'au n° 126.

315. Théorème. — La figure inverse d'une sphère qui nepasse pas par l'origine est une sphère.

Même démonstration qu'au n° 1^27.