Remarque. — Deux sphères quelconques peuvent, en gêné

FIGURES INVERSES DANS l'eSPACE 221

rai, être considérées de deux manières distinctes comme des figures inverses.

Même démonstration qu'aux n°^ 128 et 129.

317. Deux points qui se correspondent sur deux sphères considérées comme figures inverses sont dits antihomologues. Deux cordes sont antihomologue'i quani les extrémités de l'une sont les inverses des extrémités de l'autre.

En raisonnant comme au n" 130, on voit que :

Deux cercles antihomologues se coupent sur le plan radical ; Les plans tangents aux sphères en des points antihomologues se coupent sur le plan radical.

318. Théorème. — La figure inverse d'un cercle G par rapport à un centre S, non situé dans son plan, est un cercle C.

Le plan du cercle C est parallèle au plan tangent en S à la sphère S qui contient le cercle G et le point S.

Le centre du cercle G' est sur la droite qui joint le point S au pôle G du plan du cercle G par rapport à la sphère S.

Prenons, comme plan delà ligure {fig.\.o\), le plan mené par l'origine S et le centre du cercle G perpendiculairement au

plan de ce cercle. 11 coupe le cercle G suivant un diamètre AB; le cercle circonscrit au triangle SAB est un grand cercle de la sphère S.

Cela posé, le cercle G est l'intersection de la sphère S et du plan P qui contient ce cercle. La sphère S a pour inverse un plan P', et le plan P une sphère S'; par suite, l'inverse du cercle G est l'intersection du plan P' et de la sphère 2' ; c'est donc un cercle G'.

Le plan P' du cercle G' étant l'inverse de la sphère S, ce plan est parallèle au plan tangent en S à la sphère S.

222 FIGURES INVERSES DANS l'eSPACE

Le plan P' est perpendiculaire au plan de la figure, sa trace est la droite A'B', A' et B' étant respectivement les inverses de A et B.

Le cercle G' a évidemment pour diamètre A'B' ; son centre est le milieu I de A'B'. Soient E le point où la tangente en S rencontre AB, G le point de rencontre des tangentes en A et B au cercle ABS. La droite SG est la polaire du point E ; si donc F est le point de rencontre des droites AB et SG, le point F sera le conjugué harmonique du point E par rapport au segment AB, ce qui revient à dire que les droites SE et SG sont conjuguées par rapport aux droites SA et SB; la droite A'B' étant parallèle à la tangente SE, le milieu I de A'B' sera sur la droite SG. Le centre I du cercle G' est donc situé sur la droite qui joint l'origine S au pôle G du plan de G par rapport à la sphère S,

319. Théorème. — Si un cône contient un cercle G d'une sphère , il coupe cette sphère suivant un second cercle G' ifig. 152).

En effet, soient S le sommet du cône et M un point quelconque du cercle G ; la génératrice SM rencontre la sphère en

un second point M', et

n V C'^^r^^^^ SMxSM' = P,

:• / ____— l— I — '^^^^^^^^^^^''^^^ p étant la puissance du

\\ /^ ••■■•■■■■/ point b par rapport a

. 3=<L y^ ^^ sphère. Il en résulte

*^. ,,^, que le lieu de M' est

Flg. 152, ^

l'inverse du cercle G quand on prend comme origine le point S et comme puissance d'inversion P; ce lieu est donc un cercle G' (^318).

Il est clair que le cône et la sphère n'ont pas de points communs en dehors des cercles G et G'.

FIGURES INVERSES DANS l'eSPACE 223

320. Théorème. — Par deux cercles d'une sphère, on peut, en général, faire passer deux cônes.

Par le centre de la sphère menons un plan perpendiculaire aux plans des deux cercles ; ce plan coupe la sphère suivant un

grand cercle et les deux cercles suivant des diamètres AB, CD (fig. 153).

Les droites AG et BD se coupent en un point S, les droites AD, BG en

Fig. 153.

un point T.

Le cône qui a pour sommet le point S et pour base le cercle AB coupe la sphère suivant un second cercle (319).

La sphère et le cône étant symétriques par rapport au plan SAB, le second cercle sera symétrique par rapport à ce plan; il aura donc pour diamètre la droite GD.

On voit de même que le cône qui a pour sommet le point T et pour base le cercle AB contient le cercle GD.

321. Remarque L — Il n'existe pas d'autres cônes contenant les cercles AB et CD. En effet, si un cône contient deux cercles d'une sphère, ces deux cercles sont (319) des figures inverses, l'origine étant au sommet du cône. Or, si l'on prend deux cercles inverses G et G' (fig. 151), ils appartiennent toujours à une même sphère et le grand cercle ABA'B' perpendiculaire aux plans des deux cercles contient le centre d'inversion.

Il en résulte que si un cône contient les cercles de diamètres AB et GD (fig. 153), son sommet est dans le plan ABGD; ce sommet ne peut être que S ou T.

322. Remarque II. — Si les deux cercles sont tangents, l'un des points A ou B coïncide avec l'un des points G ou D, Il n'y a plus qu'un seul cône contenant les deux cercles.

224 FIGURES INVERSES DANS l'eSPACE

323. Remarque III. — H peut arriver que l'un des points S ou T soit rejeté à i'infmi; le cône correspondant est alors remplacé par un cylindre.

324. Définitions. — Deux sécantes AA', BB' à deux droites D et D' d'un même plan {pg. 154) sont dites antiparallèles par

rapport à ces deux droites lorsque les quatre points A, A', B, B' sont situés sur un même cercle.

Dans ce cas, l'angle B'BD

est égal à l'angle AA'D' ; il en

résulte que toutes les sécantes

antiparallèles à une même sé-

^. ,^, cante AA' sont parallèles.

Fig. 154. *

Soit S le sommet d'un cône oblique dont la base est un cercle G ; on appelle plan principal le plan mené par le sommet du cône et le centre du cercle perpendiculairement au plan de la base. On dit qu'un plan est anliparallèle à la base lorsqu'il est perpendiculaire au plan principal, et lorsque la trace de ce plan et la trace de la base sur le plan principal forment deux droites antiparallèles par rapport aux génératrices du cône qui sont dans le plan principal.

Ainsi le plan du cercle G' (fig. 152) est antiparallèle à la base pour le cône qui a pour sommet S et pour base le cercle G.

325. Théorème. — Dans le cône oblique à base circulaire, toute section antiparallèle à la base est un cercle.

Considérons le cône qui a- pour sommet S et pour base le cercle G [fig. 155). Soient SAB son plan principal, A'B' la trace d'un plan n antiparallèle à la base; les quatre points A, B, A', B' étant sur un même cercle, on a

SAxSA' = SBxSB' = P.

Faisons une inversion ayant pour origine S et pour puissance P ; le cercle G se transforme en un cercle G' ; ce cercle G' est

FIGURES INVERSES DANS L ESPACE

situé sur le cône, son plan est le plan n ; donc le plan n coupe le cône suivant un cercle.

326. Réciproque. — Les seules sections circulaires de ce cône sont les sections parallèles et les sections antipar allé les à la base.

En effet, soit Ci {fig. 1S5) une section circulaire du cône non

parallèle à la base ; par un point D de la base C, menons un plan n parallèle au plan de la section Ci; ce plan n coupe le cône suivant un cercle Cg, et le cercle C en deux points D et E qui sont situés sur le cercle G2. Les cercles C et C2 ayant deux points communs appartiennent à une même sphère S. Il en résulte (318) que les cercles G et G2 peuvent être considérés comme des cercles inverses par rapport à l'origine S :

donc le plan de G2 est antiparallèle à la base; il en est de même

du plan de Ci.

327. Deux sections circulaires d'un même cône, non situées dans des plans parallèles, appartiennent à une même sphère.

Soient G et Ci [fig. 155) les deux sections circulaires du cône S; prenons pour base le cercle G; le plan du cercle Ci sera antiparallèle à la base (326) ; soient alors A.B, A'B' les traces des plans des sections G et Ci sur le plan principal SAB.

Les quatre points A, B, A', B' sont sur un même cercle y; la sphère qui a y pour grand cercle contient évidemment les cercles G et Ci, qui ont pour diamètres AB, A'B'.

328. Bemarque. — Les propriétés des trois paragraphes précédents s'étendent, comme cas limite, au cylindre oblique à base circulaire.

FIGURES INVERSES BANS L ESPACE

329, Projections sléréographiques. — Soient V un point fixe d'une sphère, appelé point de vue. P le plan mené par le centre perpendiculairement au diamètre OV, M un point quelconque de la sphère, m la trace de la droite YM sur le plan P ; m est la projection stéréogrophique [fig. 156) du point M. La projection stéréographique d'une figure tracée sur la sphère est formée par l'ensemble des projections sléréographiques des points de cette flgure.

Si l'on remarque que la sphère et le plan P sont deux figures inverses par rapport au point V, on voit que les projections stéréographiques possèdent les deux propriétés suivantes :

1° L'angle de deux lignes tracées sur la sphère est égal à l'angle de leurs projections stéréographiques ;

2° La projection stéréographique d'un cercle est un cercle. Le centre de la projection est sur la droite qui joint le point de vue au pôle du plan du cercle donné par rapport à la sphère.