Définition. — Si un cercle et une sphère ont un point

commun M, l'angle de la sphère et du cercle en ce point est, par définition, l'angle que fait la tangente en M au cercle avec le plan tangent en M à la sphère.

Soit M' le second point d'intersection du cercle et de la sphère. En remarquant que le cercle et la sphère ont pour plan de symétrie le plan mené perpendiculairement à la corde MM' en son milieu, on voit que Tangle du cercle et de la sphère est le même en M et en M' ; cet angle est l'angle du cercle et de la sphère.

Si cet angle est droit, on dit que la sphère est orthogonale au cercle, ou encore que le cercle est orthogonal à la sphère.

333. Si un cercle est orthogonal à une sphère, la tangente au cercle en un point M d'intersection est normale au plan tangent en M à la sphère ; cette tangente est donc le rayon MO de la sphère. De là résultent les conclusions suivantes :

Si un cercle G est orthogonal à une*sphère S :

1° Le plan du cercle G passe par le centre 0 de là sphère S et coupe la sphère suivant un grand cercle orthogonal au cercle C;

2° La puissance du point 0 par rapport au cercle G est égale au carré du rayon de la sphère ;

30 La puissance du centre du cercle G par rapport à la sphère est égale au carré du rayon du cercle G ;

4° Toute sphère passant par le cercle G est orthogonale à la sphère S.

334. Théorèmes, — I. Le lieu des centres des sphères orthogonales à deux sphères données 0 et 0' est la portion du plan radical extérieure à ces sphères.

Même démonstration qu'au n" 109.

Le centre 0 a même puissance par rapport à toutes les sphères orthogonales ; il en en est de même du centre 0'; par conséquent, la droite 00' est un axe radical de toutes ces sphères.

On démontrerait de même que :

II. — Le lieu des centres des cercles orthogonaux aux sphères 0 et 0' est la portion de leur flan radical extérieure à ces sphères.

Chaque point de la droite 00' a même puissance par rapport à tous ces cercles.

335. Théorème. — Le lieu des centres des sphères orthogonales à trois sphères 0, 0', 0", dont les centres ne sont pas en ligne droite i est la portion de leur axe radical extérieure à ces sphères.

Même démonstration qu'au n^ 109.

Tout cercle orthogonal aux trois sphères est situé dans le plan des centres 0,0', 0" et est orthogonal aux grands cercles suivant lesquels ce plan coupe les sphères. Le centre du cercle cherché sera (110) le centre radical des trois grands cercles ; ce cercle sera réel si ce centre radical est extérieur aux trois grands cercles ; dans le cas contraire, il sera imaginaire.

336. Problème. — Construire une sphère orthogonale à quatre sphères données.

Plaçons-nous dans le cas oii les centres des sphères données ne sont pas dans un même plan. En raisonnant comme au n^ 110, on voit qu'il n'existe qu'une seule sphère orthogonale aux quatre sphères données ; son centre est le centre radical des quatre sphères ; elle est réelle si ce centre est extérieur aux sphères, imaginaire dans le cas contraire.