CHAPITRE IV

337. Théorème. — Si une sphère est tangente à un plan et à une sphère, la droite qui joint les points de contact passe par l'un des centres d'inversion du plan et de la sphère ; la puissance de la sphère par rapport ci ce centre est égale à la puissance d'inversion.

Même démonstration qu'au n° 136.

Réciproque. — Soient S un centre d'inversion d'une sphère et d'un plan, p la puissance d'inversion correspondante. Si la puissance du point S par rapport à une sphère 0 est égale à p, la sphère 0 ne peut être tangente au plan sans être tangente à la première sphère, et inversement.

Même démonstration qu'au n» 138.

338. Théorèmes. — Si une sphère 0 est tangente à deux sphères G et C', la droite qui joint les points de contact passe par l'un des centres de similitude de G et G'.

Ge sera le centre de similitude directe si 0 touche G et G' de la même façon, le centre inverse dans le cas contraire.

La puissance de la sphère 0 par rapport à ce centime de similitude est égale à la puissance d'inversion correspondante des deux sphères.

Réciproque. — Soient S un centre de similitude de deux

sphères C et G', p la puissance d'inversion correspondante. Si la puissance de S par rapport à une sphère 0 est égale à p, la sphère 0 ne peut être tangente à l'une des sphères G et G' sans être tangente à l'autre.

Même démonstration qu'aux n^^ 142 et li4.

Il résulte de là que les sphères tangentes à deux sphères données se partagent en deux séries ; pour les sphères d'une série, la corde de contact passe par le centre de similitude directe, pour celles de l'autre série, par le centre de similitude inverse.

339. Remarque. — Soient M et M' les points de contact de la sphère 0 avec les sphères G et G' ; le plan radical de 0 et C est le plan tangent en M; celui de 0 et G', le plan tangent en M'; ces plans doivent se couper [709] sur le plan radical de C et G'. Donc :

Si une sphère 0 est tangente à deux sphères G et G', les plans tangents aux points de contact se coupent sur le plan radical des sphères C et C.

340. Sphères (angentes à Irois sphères données . — Soient A, B, G trois sphères données, 0 une sphère qui les touche aux points a, 6, c. Les cordes de contact bc, ca, ab vont passer par les points py ï^» =='? qui sont respectivement un centre de similitude des couples de sphères B, G, G, A, A, B. On démontre, comme au n° 152, que ces trois centres de similitude sont sur un axe de similitude. Il en résulte que les sphères tangentes aux trois sphères données se partagent en quatre séries correspondant aux quatre axes de similitude.

Considérons les sphères d'une série, et soit L Taxe de similitude correspondant. Le point ^y ^ même puissance par rapport à toutes les sphères de la série; cette puissance est la puissance d'inversion du centre ^y relativement au couple de sphères B, G; les points y^> «P possèdent la même propriété. Il en résulte que l'axe L est un axe radical commun à toutes les sphères de la série.

Soient maintenant R l'axe radical des trois sphères A, B, G,

I un point quelconque de cet axe, p la puissance de 1 par rapport aux trois sphères A, B, G. Si l'on fait une inversion ayant I pour origine et p pour puissance d'inversion, la sphère 0 se transforme en une sphère 0' touchant les sphères données en a', 6', d . Les points a et a' sont des points antihomologues des sphères 0 et 0' ; les plans tangents à ces sphères en a et a' se coupent suivant une droite a située dans leur plan radical ; la droite L étant aussi dans ce plan radical, les droites L et a se rencontrent en un point Q que nous allons déterminer. La droite a étant la droite d'intersection des plans tangents en a et a! à la sphère A est située dans le plan polaire de I par rapport à la sphère A; le point o est donc le point où la droite L perce le plan polaire de 1 ou, ce qui revient au même, le point oii la droite L est coupée par la droite réciproque de l'axe radical R des trois sphères par rapport à la sphère A.

Ce point o est donc le même pour toutes les sphères de la série; il en résulte que le lieu des points de contact a de ces sphères est un cercle (A), cercle de contact du cône de sommet Q circonscrit à la sphère A (Théorème de Dupuis).

Le plan du cercle (A) étant le plan polaire de o, ce plan contiendra l'axe radical R et la droite X, polaire réciproque de L par rapport à la sphère A.

Réciproquement, si a est un point du cercle (A), il existe une sphère tangente en a à la sphère A et tangente aux sphères B et G. En etfet, soient 6 et c les points antihomologues de a par rapport aux centres ap, ay; menons le plan abc. Il coupe les sphères A, B, G suivant des cercles Ai, Bi, Ci, l'axe radical R en I et la droite X en /. Les points (îy, ya, ap sont des centres de similitude des couples de cercles Bi, Ci, Gi, Ai, Al, Bi ; I est le centre radical de ces trois cercles ; / est le pôle de l'axe L par rapport au cercle Ai ; le point a étant sur la droite II, le cercle ^, qui passe par les trois points a, b, c, sera (152) tangent aux cercles Ai, Bi, Gi.

Le cercle S étant tangent au cercle Ai, on pourra par ce cercle faire passer une sphère S tangente à la sphère A en a. Cette sphère S étant tangente à A, et sa puissance par rapport

au point «p étant égale à la puissance d'inversion du couple A,B, sera aussi tangente à la sphère B ; on voit de même qu'elle est tangente à la sphère C.

341. Sphères tangentes à quatre sphères. — Soient A, B, C, D quatre sphères, 0 une sphère qui les touche en o, 6, c, d. Les cordes de contact ab, ne, ad^ cd^ db, bc vont passer par les points «p, «ys ='°s ï°i oj3, ^Y, qui sont respectivement un des centres de similitude des couples de sphères A,B, A, G, A5D, G,D, D5B, B,G. On voit facilement que ces six centres de similitude sont situés dans un même plan d'homotliétie. Il en résulte que les sphères tangentes aux quatre sphères se partagent en huit séries correspondant aux huit plans d'homothétie [700] des quatre sphères.

Gonsidérons les sphères d'une série et soient n le plan de similitude correspondant, I le centre radical des quatre sphères, p la puissance du point I par rapport à ces sphères. Si l'on fait une inversion d'origine I et de puissance p, la sphère 0 se transforme en une sphère 0' tangente aux sphères A, B, C, D en a', b', C, d'.

La droite \aa' rencontre (339) la polaire réciproque de l'axe de similitude des sphères A, B, G par rapport à la sphère A ; elle rencontre aussi la polaire réciproque de l'axe de similitude des sphères A, G, D et la polaire réciproque de l'axe de similitude des sphères A, D, B. Ges axes de similitude étant situés dans le plan n, leurs polaires réciproques forment un trièdre ayant pour sommet le pôle a du plan n par rapport à la sphère A. La corde aa! passe donc par le point a.

D'où la construction suivante qui est analogue à la construction de Gergonne (152).

Soient n un plan d'homothétie des quatre sphères, a le pôle du plan n par rapport à la sphère A ; on joint le point a au centre radical I des quatre sphères ; la droite la coupe la sphère A en deux points a et a'. Soient è, c, d les points antihomologues de a par rapport aux centres a^, ay, aS des couples de sphères AB, AG, AD (ces centres sont dans le plan

n), 6', c', d' les antihomologues de al par rapport aux mêmes centres : les sphères circonscrites aux tétraèdres abcd et a'b'c'JJ sont les sphères cherchées.

On démontre comme au numéro 1S2 que ces sphères sont effectivement tangentes aux sphères A, B, G, D.

On voit que chaque série donne deux solutions. Le problème admet donc seize solutions ; un certain nombre de solutions peuvent être imaginaires.

342. Sphères langeâtes à quatre plans. — Nous examinerons seulement le cas où les quatre plans forment un véritable tétraèdre ; soient Ai, Aa, A3, A4 les sommets de ce tétraèdre. Nous désignerons par S/, l'aire de la face opposée au sommet A;^; soient alors M un point quelconque, MP^ la perpendiculaire abaissée de M sur cette face. Nous désignerons par xu un nombre algébrique ayant pour valeur absolue la longueur MP;^ ; ce nombre sera positif si M et A^ sont d'un même côté par rapport à la face, négatif dans le cas contraire.

Ces conventions étant faites, nous allons établir le théorème suivant :

343. Théorème. — Entre les quatre nombres Xi, X2, x-i, Xi, existe la relation

(1) Sia?i -h S2a?2 H- Sao^s H- SiJ?^ = 3V,

V étant le volume du tétraèdre.

Nous désignerons par A/^A; la demi-droite qui a pour origine kh et qui est dirigée vers A/, par Aa,A;, la demi-droite ayant pour origine A/, et dirigée en sens inverse.

Gela posé, si l'on considère un sommet du tétraèdre, le sommet Al par exemple [fig. 157), les arêtes qui passent par ce point forment huit trièdres. Tous les points situés à l'intérieur du trièdre d'arêtes A1A2, A1A3, AiAi sont du même côté que Al par rapport au plan de la face Si ; au contraire, les points situés à l'intérieur d'un des sept autres trièdres se partagent en deux groupes, savoir : ceux qui sont du même côté que Ai par

SPHÈHES TANGENTES

rapport au plan Si et ceux qui sont de l'autre côté ; on voit que nous avons ainsi partagé l'espace en quinze régions. Nous allons examiner ce qui se passe dans ces diverses régions :

1° Le point M est à l'intérieur du trièdre A1A2, A1A3, A1A4.

MA3A4A1 -I- MA4A1A2 + MAiAoAa ; MP3 = .x'3 MP4 = a-4 ;

et du même côté que A, par rapport à la face Si, c'est-à-dire à l'intérieur du tétraèdre.

On a alors

Vol. A1A2A3A4 = MA2A3A4 •

MPi=a;,, MP2 =a-2,

donc

3V — Sia^-i H- S2X2 4- S3X3 H- S4a?4.

2° Le point M est à l'intérieur du trièdre A1A2, A1Â3, A1A4 et du côté opposé à Ai par rapport à la face Si. On dit alors que le point M est dans le trièdre tronqué A2A3A4, A2AI, A3Ai, A4Ai, qui correspond à la face Si. Il est clair qu'il existe quatre régions analogues à celle-ci.

On a, dans ce cas, Vol. A1A2A3A4 = — MA^AsAi + MA3A4A1 4- MA4A1A2 + MA1A2A3; MPi = — a?j, MP2 = X., MP3 = x-i, MP4 = a?4 ;

donc

3V = — Si( — Xi)-{- SsX'a -h S3X3 H- S4a?4, ou

3V = SiXi -h S2X2 -F S3CC3 + Sta?4-

3° Le point M est à l'intérieur du trièdre AiA^, AjAg, A1A4, c'est-à-dire dans le trièdre opposé au sonimel Ai. Il est clair qu'il y a quatre régions analogues à celle-ci.

On a, dans ce cas,

Vol. AjAaAgA, = MA2A3A4 — MA3A4A, — MA4A,A2 — MA1A2AJ ; MPi = xi, MP2 = — X2, MP3 = — a?3, MP4 = —x^;

donc

3V = S^x, — S2(- X,) — Ss{- xs) - S4(- X,), ou

oV ^^ >5r''^i H~ 023?2 ~H i^S'^a ~~\~ 043^4.

4° Le point M est à l'intérieur du trièdre A1A2, A1A3, A1A4 et du même côté que Aj par rapport à la face Si, c'est-à-dire dans le comble qui cor respond à l'arête A1A2.

Il est clair qu'il existe six régions analogues à celle-ci ; on voit que nous avons bien trouvé les quinze régions annoncées.

On a, dans ce cas.

Vol. A1A2A3A4 = MA2A3A4 -^ MA3A4A1 — MA4A1A2 — MAjAaAg ; MPi=a?i, MP2 = a?2, MP3 = — 073, MP4 = — a?4 ;

donc

3V = Sja?i -+- S2.3?2 — S3(— ^3) — S4(— Xi), ou

oV = iSiXi —\- DiX'i -\- 03X3 -+- Ol^x^.,

ce qui montre que la formule (1) est bien générale.

344. Réciproque. — Si quatre nombres a?i, a-g, x^, Xi, satisfont à la relation (1), il existe un point M et un seul dont les distances aux faces ont pour valeurs algébriques x^, x^^ a?3, Xi,.

En effet, le lieu des points dont la distance à la face Si a pour

valeur algébrique a?i est un plan Qi parallèle à cette face ; de même, si x^ est donné, le point M sera dans un plan Qo parallèle à S2 ; et si a^s est aussi donné, M devra se trouver dans un plan Qs parallèle à %. Les plans 01,02,03 étant parallèles aux faces d'un trièdre n'ont qu'un seul point commun M; soit a?^ la valeur algébrique de la distance de ce point à la face S4. D'après le théorème direct, on aura

3V = Sia;i + Sîa72 4- 83373 + S^a?! ; mais, par hypothèse,

3V = S1.X1 -H 82^:^2 -I- 83a?3 -i- 843^4 ; donc

Les distances du point M aux faces du tétraèdre ont bien pour valeurs algébriques Xi, X2, X3, x^.

345. 8i une sphère est tangente aux quatre faces d'un tétraèdre, les distances de son centre aux faces sont égales au rayon ; pour ce centre, les quantités a?i, x^, a^g, Xi ont pour valeur absolue le rayon de la sphère. Inversement, si un point est tel que les quantités a?], a?2, X3, xi, qui lui correspondent ont la même valeur absolue, ce point est centre d'une sphère tangente aux faces. Nous allons chercher ces points :

1° A Vintérieur du tétraèdre.

Dans cette région, a;,, x^, X3, Xi sont positifs. On aura donc

Xi ^^^ X2 — ^ X2 ■^^ X^ = Ja,

La relation (1) donne alors

Nous obtenons une sphère ; cette sphère est dite inscrite au tétraèdre.

2° Dans un trièdre tronqué.

Prenons, par exemple, le trièdre tronqué qui correspond à la face Si ; Xi est négatif, x^, Xs, x^ sont positifs. On aura donc , Xi =■ • — i\, aî2 = X3 := a?4 = K.

La formule (4) donne alors

02 H- S3 -f- 04 bi

Cette valeur est toujours positive, car la face Si est plus petite que la somme des trois autres.

Il y aura donc une sphère dans ce trièdre tronqué ainsi que dans les autres trièdrcs tronqués analogues ; ces quatre sphères sont dites exinscrites au tétraèdre.

3° Dans un trièdre opposé au sommet.

Considérons, par exemple, le trièdre opposé au sommet Ai ; Xi est positif, x^, x^, x^ sont négatifs. On aura donc

3?i ==^ il, X2 =^ CC3 ^^ Xt^ = — II,

et par suite

Cette valeur étant négative, on conclut qu'il n'y a pas de sphères dans cette région, ce qui était évident a priori.

40 Dans un comble.

Prenons le comble qui a pour faite A1A2 ; Xy et x^ sont positifs, aTg et a?4 négatifs. On aura donc

Xy = X2 = R, X3 = x\ = — R,

et par suite

Oi — |- !>2 — 03 — 04

Pour que cette valeur soit admissible, il faut que la somme Si H- S2 soit supérieure à la somme S3 -t- S4 ; donc :

Pour qu'il existe une sphère tangente dans un comble, il faut que la somme des deux faces qui contiennent l'arête du comble soit plus petite que la somme des deux autres faces.

Il en résulte qbe s'il y a une sphère tangente dans le comble qui correspond à une arête, il n'y en a pas dans le comble qui correspond à l'arête opposée.

Si les deux sommes Si -+- S2 et S3 h- S4 sont égales, il n'existe pas de sphères tangentes dans les combles A1A2 et A3A4.

Il résulte de là qu'il y aura dans les combles 0, 1, 2 ou 3

sphères tangentes. Examinons successivement les trois premiers cas.

a) Pour qu'il n'existe aucune sphère, il faut que l'on ait à la

fois

Si -+- S2 = S3 + 04,

Si + 03 := S2 -I- S4, Si H- S4 = 02 —H 03,

d'où l'on déduit

Si = S2 = S3 = S4.

Les quatre faces du tétraèdre sont alors équivalentes.

b) Pour qu'il n'existe qu'une seule sphère, il faut, par exemple, que l'on ait

Si + S2 = S3+S4,

Si — f- S4 -^ S2 ~i~ 03 5

Si — h S3 = So —h S4,

d'oii, en retranchant les deux égalités,

Sa — S3 = S3 — S2, OU S2 = S3,

et, par suite, Si = S4.

c) Pour qu'il n'existe que deux sphères, il faudra avoir, par exemple,

Si-hS2- S3-t-S4, Si -h 83^82 H- S4, 81-^84^82+83;

d'où l'on déduit

82^:83 et 81^84, Si<83, 82^:8,.

Si Si est la plus grande face, 82 devra être la plus petite, 83 et S; seront les faces intermédiaires; dans ce cas, les faces 83 et 84 seules peuvent être égales.

Dans le cas considéré, il y a donc au plus un seul couple de faces égales; la somme de la plus grande face et de la plus petite est égale à la somme des deux autres.

Dans tous les autres cas, il y aura trois sphères dans les combles.

En résumé, il y a cinq, six, sept ou huit sphères tangentes à (juatre plans.