AB ^ AB
OU, à cause de la similitude des triangles OA'B', OAB, arc AB OC AB "^ OH ' Prenons sur le rayon OC un point I tel que
Si le point H est placé entre I et G, c'est-à-dire si la corde AB est plus petite que la corde EF = 8, qui a son milieu en I,
on aura bien
arc AB .
corde AB
348. Considérons maintenant un arc de courbe tracé sur une sphère. A chaque ligne brisée inscrite AMiM2...M„B, faisons correspondre la figure formée par les arcs de grand cercle AM,;, M1M2, M2M3, . . ., M„B ; cette figure forme une ligne polygonale sphérique inscrite dans l'arc de courbe. Soient L„ le périmètre de la ligne brisée de rang n, >„ le périmètre de la ligne polygonale sphérique correspondante, L la longueur de l'arc de courbe. Je dis que ),i a pour limite L.
En effet, donnons-nous arbitrairement un nombre positif e ; nous y ferons correspondre (347) un nombre 8. A partir d'un certain rang, tous les côtés des lignes brisées sont plus petits que 0, et par conséquent le rapport entre un côté de la ligne polygonale sphérique et le côté correspondant de la ligne brisée est plus petit que 1 -t- e. On aura donc à partir de ce rang
OU
•^n — ijra <C i^n-) GUICHABD. — TRàlTÉ DE GÉOM. Il i6
OU, a fortiori^
x„ — L„ <; As,
A étant un nombre fixe supérieur à toutes les quantités L„. On voit donc qu'à partir d'un certain rang la différence X„ — L„ reste moindre que tout nombre donné ; de même, à partir d'un certain rang, la différence entre L et L„ devient moindre que tout nombre donné ; il en résulte que si n est un nonjbre arbitrairement choisi, la valeur absolue de la différence L — X„ sera, à partir d'un certain rang, moindre que n, ce qui montre que 'kn pour limite L. Donc :
La longueur d'un arc de courbe spliérique est la limite vers laquelle tendent les périmètres d'une suite illimitée de lignes polygonales sphériques inscrites dans la courbe, quand on assujettit les côtés de ces lignes à tendre vers zéro, lorsque le rang de la ligne croît indéfiniment.
349. Toute ligne polygonale sphérique est plus grande que Varc de grand cercle.^ moindre qu'une demi-circonférence, qui passe pjar ses extrémités.
Démontrons-le d'abord pour une ligne polygonale AMB de deux côtés [fig. 159). Le théorème est évident si l'un au moins des arcs AM ou BM est plus grand qu'une demi-circonférence; si les arcs AM et BM sont tous deux moindres qu'une demi-circonférence, la figure AMB est un triangle sphérique, et l'on a
Fig. 159. [722]
AB<AM-hMB.
Il suffit de démontrer maintenant que si le théorème est vrai pour une ligne polygonale de n côtés, il est encore vrai pour une ligne de n -h 1 côtés. Soit AMjMj ... M„B une telle ligne; menons Tare de cercle moindre qu'une demi-circonférence qui passe par les sommets A et M„. Le théorème étant supposé vrai pour une ligne de n côtés, on aura
AM„ < AMi -h MiM, -h . . . + M„iM„,
D'autre part, la figure AM„B donne
AB<AM„ -hM„B.
De ces deux inégalités, on déduit par addition
AB < AMi 4- M1M2 4- ... -4- M„,M„ H- M„B .
350. Théorème. — Tout arc de courbe sphérique AB est plus grand que l'arc de grand cercle, moindre qu'une demi- circonférence, qui passe par ses extrémités .
Ce théorème résulte immédiatement, par un passage à la limite, des résultats établis dans les deux paragraphes précédents.
L'arc de cercle moindre qu'une demi-circonférence qui passe par A et B est donc la ligne sphérique la plus courte qu'on puisse tracer entre les points A et B ; c'est, par définition, la distance sphérique des deux points.
Polygones sphériques.
