Sens d'un angle

Considérons une sphère 0 et deux courbes de cette sphère qui se S coupent en A {fîg. 160), menons les demi-droites AS, AT, tangentes aux portions de courbe considérées; l'angle des deux courbes est l'angle SAÏ ; il a même mesure que le dièdre SOAT. Le sens du dièdre SOAT [o51] est, par définition, le sens de l'angle que fait la courbe tangente à AS avec la courbe tangente à Aï.

Le sens d'un angle dépend de l'ordre dans lequel on place les deux courbes.

Fig. 160.

Nous remarquerons que nous prenons toujours, comme direction positive de l'arête du dièdre, la direction qui va du centre 0 au sommet A de l'angle.

Si l'on remplace les deux portions de courbe par leurs symétriques par rapport au centre 0, on change le sens de l'angle. En effet, on remplace le dièdre SOAT par le dièdre S'OA'T' {fig. 460); ces deux dièdres sont opposés par l'arête et les directions positives de leurs arêtes sont inverses : donc [553] ces dièdres sont de sens contraires .

Il est clair que si deux figures sphériques sont superposables, les angles homologues ont même sens.

Si l'on considère un polygone sphérique et son symétrique par rapport au centre 0, on obtient deux polygones qui ont leurs côtés homologues égaux, leurs angles homologues ""égaux et de sens contraires; donc ces deux polygones ne sont jamais superposables.

Si l'on considère un triangle sphérique ABC, on voit facilement que les angles ABC, BGA, GAB ont le même sens ; donc :

Bans deux triangles sphériques quelconques, les angles homologues sont : ou toujours de même sens, ou toujours de sens contraires.

352. Théorème. — Par un point A d'une sphère on peut mener un grand cercle perpendiculaire à un grand cercle donné et on n^en peut mener qu'un seul.

En effet, le cercle cherché est celui qui passe par le point A et par le pôle P du cercle donné [715].

11 y a exception si le point A est pôle du cercle donné ; alors tout grand cercle mené par A est perpendiculaire au cercle donné.

On appelle hauteur d'un triangle le grand cercle mené par un sommet perpendiculairement au côté opposé.

353. Définitions. — Un triangle sphérique est isocèle s'il a deux côtés égaux ; le point de rencontre des côtés égaux est le sommet du triangle; le côté opposé au sommet est la base du triangle.

354. Remarque. — Soient S et S' deux sphères égales, AB, A'B' des arcs de grand cercle égaux tracés sur ces sphères ; on pourra, d'une seule manière, porter la sphère S' sur la sphère S de telle sorte que A' et B' viennent respectivement en A et B et que les arcs A'B', AB coïncident.

On peut encore dire : si une figure est tracée sur la sphère, on peut, sans déformer cette figure, amener deux points A et B de cette figure en A' et B', sous la seule condition que les arcs de grand cercle AB, A'B' soient égaux.

355. Théorème. — Dans un triangle isocèle les angles à la base sont égaux.

Soient ABC un triangle isocèle qui a pour base BG, A'B'C

son symétrique par rapport au centre 0 (fig. 161). Les angles BAC et C'A'B' étant égaux et de même sens, on pourra faire coïncider l'angle C'A'B' avec l'angle BAC; le côté C'A' est égal à son symétrique CA qui, par hypothèse, est égal à AB ; donc le point C vient en B; on voit de même que B' vient en C. L'angle B est donc égal à l'angle C, symétrique de C, et, par suite, les angles B et C sont égaux.

Réciproque. — Si deux angles d'un triangle sont égaux, les côtés opposés à ces angles sont égaux.

Démonstration analogue à celle du n^ précédent.

356. Remarque. — Dans la démonstration précédente, on fait coïncider le triangle isocèle ABC avec le triangle A'C'B' et non avec le triangle symétrique A'B'C

Soient alors I le milieu de BC, F le symétrique de L Le triangle BAI est superposable au triangle C'A'l'; il en résulte que l'angle BIA est égal à l'angle C'I'A', symétrique de l'an-

gle CIA; donc les angles BIA et CIA sont égaux, et par suite le grand cercle lA est perpendiculaire au grand cercle BC. On verrait de même que les angles BAI et CAI sont égaux.

357. Réciproque. — Si par le milieu I de l'arc de grand cercle BG on mène un grand cercle perpendiculaire à BC, tout point A de ce cercle est équidistant des points B et C.

Pour le démontrer, il suffit de remarquer que l'on peut faire coïncider les triangles BIA et G'i'A'. Donc:

Le lieu des points d'une sphère équidistants de deux points de cette sphère est le grand cercle perpendiculaire au milieu de l'arc de grand cercle guipasse par ces deux pjiints.

358. Théorème. — Si deux angles d'un triangle sont inégaux, le côté opposé au plus grand angle est p)lus grand que le côté opposé à l'autre angle.

Supposons que dans le triangle ABC [fig. 162) l'angle B soit

plus grand que l'angle C. Menons un grand

cercle BD faisant avec BG un angle égal à

l'angle G ; ce grand cercle rencontre le côté

AC en un point D situé entre A et C, et

l'on a