AB<AC

359. Par un raisonnement analogue à celui du n" [53], on en déduit la réciproque suivante :

Si deux côtés d'un triangle sont inégaux, l'angle opposé au plus grand côté est plus grand que l'angle opposé à l'autre côté.

360. Théorèmes. I. — Deux triangles qui ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun, sont égaux ou symétriques.

[I. — Deux triangles qui ont un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun, sont égaux ou symétriques .

Ces théorèmes se démontrent par superposition; pour pouvoir effectuer celte superposition, on remplace, si cela est nécessaire, un des triangles par son symétrique, de façon à ne comparer que des triangles dont les angles homologues ont le même sens.

361. Théorème. — Si deux triangles ont deux côtés égaux chacun à chacun et si les angles compris sont inégaux^ les troisièmes côtés sont inégaux et le côté opposé au plus grand angle est le plus grand.

Démonstration analogue à celle du n° [56]. On en déduit comme au n° [57] :

Si deux triangles ont deux côtés égaux chacun à chacun, et si les troisièmes côtés sont inégaux, les angles opposés à ces côtés sont inégaux, et l'angle opposé au plus grand côté est le plus grand.

362. Théorème. — Deux triangles qui ont leurs trois côtés égaux chacun à chacun sont égaux ou symétriques.

Soient les deux triangles ABC, A'B'C qui ont leurs trois côtés égaux chacun à chacun ; je dis que Tangle A est égal à l'angle A'. En effet, si A était plus grand que A', le côté BC serait (361) plus grand que le côté B'C; de même, si A était plus petit que A', BG serait plus petit que B'C, ce qui est contraire à l'hypothèse; donc A = A'. Les deux triangles sont donc égaux ou symétriques comme ayant un angle égal compris entre des côtés égaux chacun à chacun (360).

363. Distance d'un point à un grand cercle. — Soient C un grand cercle, M un point quelconque de la sphère {fig. 163) ; menons par le point M un grand cercle perpendiculaire à C, il coupera le grand cercle G en deux points A et A'. Considérons la portion du grand cercle perpendiculaire qui est dans le même hémisphère que M par rapport au cercle G; cette portion est

Fig. 163.

divisée par le point M en deux arcs, l'un MA plus petit qu'un quadrant, l'autre M.V plus grand qu'un quadrant. Cela posé, nous allons établir le théorème suivant.

Théorème. — 1° Uarc MA est plus petit que tout arc oblique MB ; 2° Deux arcs obliques MB, MB' dont les pieds B et B' sont équidistants du pied A de l'arc MA sont égaux ;

^° Quand le point B va de A en A', MB va en croissant.

1° En effet, soit P le pôle du cercle C qui est situé dans l'hémisphère M; dans le triangle sphérique PMB on a

PB < PM -h MB, ou, en remarquant que PB est égal à PA, c'est-à-dire à