PM + MA

PM-i-MA<PM + MB,

ou MA < MB.

2° Les arcs MB, MB' sont égaux; en effet, les deux triangles sphériques PBM, PB'M ont leurs éléments homologues égaux, car ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun ; donc l'arc MB est égal à l'arc MB'.

3° Soit D un point de l'arc BA'; il faut démontrer que MD est

plus grand que MB. En effet, dans les deux triangles PMB et

PMD, on a

PM = PM, PB = PD, MPD>MPB;

donc (361)

MD>MB.

L'arc de grand cercle MA est la plus courte distance du point M à un point quelconque du cercle C sphérique du point M au cercle C.

c'est la distance

364. Corollaires. L — Deux triangles sphériques rectangles sont égaux ou symétriques s'ils ont l'hypoténuse égale et un côté égal.

II. — Deux triangles sphériqiies rectangles sont égaux ou symétriques s'ils ont Vhypoténuse égale et un angle adjacent à l'hypoténuse égal.

Même démonstration qu'aux n°' [88 et 89].

Pour que la démonstration s'applique, il faut supposer que l'hypoténuse n'est pas égale à un quadrant. Dans ce dernier cas le triangle possède deux angles droits.

365. III. — Considérons le triangle rectangle MAB. Si AB est moindre qu'un quadrant, il en est de même de MB; le triangle a tous ses côtés aigus. Si AB est plus grand qu'un quadrant, il en est de même de MB ; le triangle a deux côtés obtus.

Considérons de même le triangle MBA'. Si A'B est obtus, MB est aigu ; le triangle a deux côtés obtus. Si A'B est aigu, MB est obtus ; le triangle a encore deux côtés obtus. Donc :

Dans un triangle sphérique rectangle, il y a 0 oit 2 côtés obtus.

366. Triangles polaires . — On appelle triangle polaire d'un triangle sphérique ABC, un triangle A'B'C tel que chaque sommet du second triangle est pôle d'un côté du premier et situé par rapport à ce côté dans l'hémisphère qui contient le sommet opposé à ce côté; ainsi, le sommet A', par exemple, est celui des deux pôles de BC qui est, par rapport au grand cercle BC, dans l'hémisphère qui contient le sommet A.

367. Théorème. — Si le triangle A'B'C {fîg. 164) est le triangle polaire du triangle ABC, inversement le triangle ABC est le triangle polaire du triangle A'B'C.

Nous nous appuierons sur le lemme suivant :

Lemme. — Soient C un grand cercle de la sphère, P un de ses pôles. Si vn point M est situé par rapport au cercle C dans l'hémisphère P, la distance sphérique PM est moindre qu'un quadrant ; si le point P, est situé dans l'autre hémisphère, la distance PM est supérieure à un quadrant.

Ce qui peut encore s'énoncer ainsi :

Pour qu'un point M soit par rapport à un grand cercle C dans le même hémisphère qu'un pôle P de ce cercle, il faut et il suffit que la distance sphérique PM soil moindre qu'un quadrant.

Cela posé, pour démontrer le théorème, il faut montrer que le sommet A, par exemple, est le pôle du côté B'C et dans le même hémisphère que A' par rapport à ce côté. Le point B' étant pôle de AG, la distance B'A est égale à un quadrant; on voit qu'il en est de même de C'A ; donc A est un pôle de B'C. D'autre part, le point A', pôle de BC, a été choisi dans le même

Fig. 164.

hémisphère que A par rapport au cercle BG ; donc la distance AA' est moindre qu'un quadrant; cette distance étant moindre qu'un quadrant et A étant pôle de B'C, les points A et A' sont dans un même hémisphère par rapport au cercle B'C.

368. Théorème. — Dans deux triangles polaires ABC, A'B'C {fig. d64), chaque angle de l'un est le supplément du côté cor~ respondant de Vautre.

Démontrons par exemple que l'angle A est le supplément du €Ôté B'C ; les côtés de l'angle A, prolongés au besoin, rencontrent le grand cercle B'C en D et E. Le cercle B'C ayant A pour pôle, la mesure de l'angle A est [713] l'arc DE.

L'arc B'D est égal à un quadrant et a même sens que B'C ; l'arc CE est aussi égal à un quadrant et a même sens que CB'; il en résulte que dans tous les cas on a