Centres d'inversion de deux cercles d'une sphère. — On

sait que par deux cercles A et B d'une sphère on peut (320) faire passer deux cônes ; soient S et T les sommets de ces deux cônes. Si l'on prend pour centre d'inversion l'un de ces sommets et pour puissance d'inversion la puissance de ce sommet par rapport à la sphère, les deux cercles se transforment l'un dans Tautre ; il n'existe d'ailleurs pas d'autre façon de transformer par une inversion le cercle A dans le cercle B. Ges sommets S et T sont les centres d'inversion des deux cercles.

Gonsidérons l'un de ces sommets, S par exemple; menons une génératrice quelconque du cône S, elle rencontre le cercle A en M et le cercle B en N ; ces deux points M et N sont appelés points antihomologues des deux cercles par rapport au centre S.

Deux couples de points antihomologues M, N et M', N' sont (305) quatre points d'un même cercle; donc (408) les arcs de grand cercle MN, M'N' se coupent sur l'axe radical des deux cercles .

Supposons que les points M' et N' se rapprochent indéfiniment des points M et N ; on a le résultat suivant :

Les grands cercles tangents aux cercles A ef B en deux points antihomologues W et ^ se coupent sur l'axe radical de ces deux cercles. ,

Il en résulte qu'il existe un cercle G tangent aux cercles A et B aux points M et N.

Le plan de ce cercle contenant les tangentes en M et N aux cercles A et B, est le plan tangent au cône S le long de la génératrice SMN ; donc :

Tout plan tangent à l'un des cônes S om T coupe la sphère suivant un cercle tangent aux cercles A et B.

Inversement, tout cercle G passant par deux points antihomologues M et N et tangent au cercle A est aussi tangent au cercle B.

En effet, le plan de ce cercle contient la génératrice MN du cône S et la tangente en M au cercle A ; ce plan est tangent au cône S et par suite le cercle G est tangent aux cercles A et B.

415. Réciproque. — Si un cercle G touche deux cercles A ef B d'une même sphère S {fig. 185) en deux points M et N, la droite

MN passe par l'un des cen- /-'■yV~~'~~"\ très d'inversion des deux

/ / 1/ \/u cercles.

I I m/- -... ¥^A ? Prenons comme plan de

1 I J\ AM ^^ figure le plan du grand

Y / / \^y J cercle perpendiculaire aux

X^A C / cercles A et B. La droite MN

^ --^ rencontrera ce plan en un

Fig. 185. point a. Prenons comme

centre d'inversion le point a et comme puissance d'inversion la puissance de ce point par rapport à la sphère. Le cercle G se transforme en lui-même ; le cercle A se transforme en un cercle B' de la sphère ; ce cercle B' sera tangent en N au cercle G et par conséquent au cercle B ; le plaa du cercle B' sera "perpendiculaire au plan de la figure, par suite B' coïncide avec B ; donc a est l'un des centres d'inversion des cercles A et B.

416. Remarque, — Il résulte de ce qui précède que les cercles

tangents à deux cercles d'une sphère se partagent en deux séries; les cercles d'une même série sont situés dans les plans tangents de l'un des cônes qui contiennent les deux cercles.

417. Cercles tangents à trois cercles d'une sphère. — Soient A, B, C trois cercles d'une sphère^ a et a' les centres d'inversion des cercles B et C, A p et ji' ceux des cercles C et A, y et y' ceux des cercles A et B. Soit D un cercle tangent aux cercles A, B, C.

Le plan du cercle D doit être tangent à l'un des cônes a ou a', par exemple au cône a; il doit en outre passer par l'un des points p ou ^', soit par exemple p^. On obtiendra donc le plan du cercle D en menant par la droite aS un plan tangent au cône a. Réciproquement, si un plan D passe par ^ et est tangent au cône a, ce plan coupe la sphère suivant un cercle D tangent aux trois cercles A, B, C. En effet, le plan du cercle D étant tangent au cône a, ce cercle sera (416) tangent aux cercles B etC; de plus ce plan, passant par (2i et par une tangente au cercle C, est tangent au cône p, par suite le cercle D est (416) tangent aux cercles A et C ; le cercle D est donc tangent aux trois cercles A, B, G.

Si la droite a^ est extérieure au cône a, on pourra par cette droite mener deux plans tangents au cône, et par suite la combinaison ap donnera deux cercles tangents. Si la droite a^ est intérieure au cône a, il n'existera pas de plan tangent au cône mené par cette droite et, par conséquent, pas de cercles tangents correspondant à la combinaison a^. Nous dirons, dans ce cas, qu'à cette combinaison correspondent deux cercles tangents imaginaires.

A chacune des combinaisons «p, J^\ a!^, a'^' correspondent deux solutions réelles ou imaginaires; il y a donc huit cercles tangents qui se partagent en quatre groupes de deux correspondant aux quatre combinaisons précédentes.

418. Remarque. — Pour obtenir les deux cercles qui correspondent à la combinaison a^, on peut effectuer la construction suivante : Par le point 7 où la droite ajJ perce le plan du cercle

G, on mène les tangentes à ce cercle, soient c et c' les points de contact ; les droites ac, ac' coupent le cercle B en 6 et 6'; les droites j^c, ^c coupent le cercle A en a, a' ; les deux cercles cherchés sont les cercles abc et a'b'c'.

Soit û le point de rencontre des droites bb' et ce' ; je dis que la droite aa' va aussi passer par le point Q . En effet, soient D et D' les deux cercles abc, a'b'c' . Si l'on prend pour centre d'inversion Q et pour puissance d'inversion la puissance de ce point par rapport à la sphère, les cercles B et G se transforment en eux-mêmes; le cercle D tangent en è et c aux cercles B et G se transforme en un cercle tangent en V et d aux cercles B et G ; le cercle D se transforme donc dans le cercle D' ; le point 0 est un centre d'inversion des cercles D et D'. Soit alors a" le point antihomologue de a dans cette inversion. Les cordes antihomologues ca, ca" doivent se couper sur la droite d'intersection a^ des deux plans, ca!' doit passer par p et a" coïncide avec a' ; donc la droite aa' passe par le point û. Ge point de concours o des droites aa', bb', ce' est le point de rencontre des plans des cercles A, B, G; il était évident a priori que si l'on prend comme centre d'inversion ce point de concours et pour puissance d'inversion sa puissance par rapport à la sphère, à tout cercle D tangent aux cercles A, B, G correspond un autre cercle tangent D'.

11 résulte d'ailleurs de ce qui précède que la droite d'intersection des plans de deux cercles inverses passe par un centre d'inversion des cercles B et G, c'est-à-dire par un centre d'inversion de deux quelconques des trois cercles A, B, G.

D'où le résultat suivant :

La droite qui passe par un centre d'inversion des cercles B ef G {fig. 186) et par un centre d'inversion des cercles k et C passe par un centre d'inversion des cercles A, B, Les six centres d'inversion des trois cercles, pris deux à deux.

sont situés sur quatre droites d'un même plan. Ces droites sont les axes d'inversion des trois cercles.

On peut remarquer que les droites aa', hh\ ce' rencontrent la polaire réciproque de Taxe d'inversion a^y

La méthode que nous venons d'employer pour mettre en évidence les axes d'inversion possède, au point de vue élémentaire, un grave inconvénient. On peut objecter que la démonstration ne subsiste plus quand les cercles d'un groupe deviennent imaginaires. Nous indiquons, dans les exercices de ce chapitre (Exercices 13 et 14, 2^ série) une méthode de démonstration qui est applicable à tous les cas.

EXERCICES (1^« Série).

1. Construire une sphère passant par un point A et telle que le plan polaire d'un point donné P par rapport à cette sphère soit un plan donné n.

2. Construire une sphère tangente à un plan donné et telle que deux droites données D et A soient réciproques par rapport à cette sphère.

3. Construire une sphère passant par un cercle donné et telle que deux points donnés A et A' soient conjugués par rapport à cette sphère.

4. Étant données deux droites D et A, démontrer que si la droite D rencontre la droite polaire réciproque de la droite A, inversement la droite A rencontre la droite polaire réciproque de la droite D.

5 . Lieu des centres des sphères qui passent par un point donné A -et qui sont telles que le plan polaire d'un point donné B contienne

une droite donnée p.

6. Transformer par inversion trois sphères quelconques en trois sphères ayant leurs centres en ligne droite. Condition de possibilité. — Lieu des centres d'inversion.

7. Transformer par inversion quatre sphères quelconques en quatre sphères ayant leurs centres dans un même plan. Condition de possibilité. — Lieu des centres d'inversion.

8. Transformer par inversion deux sphères quelconques en deux sphères concentriques.

9. Transformer par inversion deux sphères quelconques en deux sphères de même rayon. — Lieu des centres d'inversion.

10. Étant donnés une sphère S et un cercle C situé sur cette sphère, trouver le lieu des sommets des cônes qui contiennent le cercle C et qui coupent la sphère S suivant un second cercle de rayon donné.

11. Étant donnés deux cercles d'une même sphère, trouver sur le grand cercle perpendiculaire à ces deux cercles un point S tel que si l'on fait une inversion de centre S, les deux cercles se transforment en des cercles égaux.

12. Construire une sphère passant par un cercle donné et orthogonale à une sphère donnée.

13. Construire une sphère passant par un point donné et telle que le plan radical de cette sphère et d'une sphère donnée S soit un plan donné P.

14. Lieu des centres des sphères passant par deux points donnés et orthogonales à une sphère donnée.

15. Lieu des centres des cercles passant par un point donné et orthogonaux à une sphère donnée.

16. Construire une sphère tangente à un plan donné et orthogonale à trois sphères données.

17. Construire une sphère tangente à une droite donnée et orthogonale à trois sphères données.

18. On considère les sphères orthogonales à deux sphères données et tangentes à un plan P. Lieu de leurs points de contact avec le plan P.

19. Mener par deux points une sphère tangente à un plan donné et à une sphère donnée. — Discussion.