Construire une sphère orthogonale à deux cercles donnés

21. Construire une sphère passant par deux points donnés et orthogonale à un cercle donné.

22. Construire une sphère passant par deux points donnés et tangente à deux sphères données.

23. Étant donnés dans un plan deux cercles C et C, on fait tourner, autour de l'axe radical^, le cercle C d'un angle quelconque, ce qui amène C en Ci. Démontrer que les cercles C et Ci appartiennent à une même sphère.

24. Étant donnés dans un plan deux cercles orthogonaux C et C, on fait tourner le cercle G' d'un angle droit autour de la ligne des centres, ce qui amène C en Ci. Démontrer que toute sphère passant par le cercle C est orthogonale à toute sphère passant par le cercle Ci.

Ces deux cercles C et Ci forment ce qu'on appelle un anneau orthogonal.

25. Démontrer que si deux cercles Ci et Cg forment des anneaux orthogonaux avec un même cercle C, les cercles Ci et C2 sont situés sur une même sphère.

26. Démontrer que si ABC est un triangle sphérique rectangle en A, les côtés et les angles de ce triangle sont liés par les relations

cos a = cos b cos c,

igb = tgB sin c, sin b = sin a sin B.

En déduire que dans un triangle sphérique rectangle il existe 0 ou 2 côtés obtus.

27. Démontrer que si ABC est un triangle sphérique quelconque^ entre les angles et les côtés existent les relations sin a sin & sine

sin A sin B sin G

28 . Construire un petit cercle tangent aux trois côtés d'un triangle sphérique donné.

29. Démontrer que l'aire d'un triangle sphérique est égale à 4 — p, p désignant le périmètre du triangle polaire.

30. Soient ABC un triangle sphérique, a, [i, y des points pris sur les côtés BG, GA, AB ou leurs prolongements. Démontrer que :

1° Pour que les grands cercles Aa, Bji, Cy se coupent en un même point, il faut et il suffit que l'on ait

sinaB sin pG sinyA sin aG sin ^A sin yB ~ ' 2° Pour que les trois points ^, [i, y appartiennent à un même grand cercle, il faut et il suffit que

sin aB sin [3G sin yA sin aC sin [3A sin yB ~

31. Démontrer que les grands cercles qui joignent les sommets d'un triangle aux milieux des côtés opposés concourent.

32. Démontrer que si sur chaque côté d'un triangle on prend un point situé à une distance d'un quadrant du milieu du côté, les trois points ainsi obtenus sont sur un même grand cercle.

33. Démontrer que les grands cercles menés par les sommets d'un triangle perpendiculairement aux côtés opposés concourent.

34. Calculer le rayon d'une sphère sachant qu'un triangle sphérique de cette sphère dont les angles ont pour valeur 120°, 70°, 110» a une surface de 12°i'î.

35. Construire un triangle sphérique connaissant deux côtés et

une hauteur (la hauteur est le grand cercle mené d'un sommet perpendiculairement au côté opposé et jusqu'à ce côté).

36. Construire un triangle sphérique connaissant un côté et deux. hauteurs.

37. Construire un triangle sphérique connaissant un côté etdeux médianes (une médiane est l'arc de grand cercle qui va d'un sommet au milieu du côté opposé).

38. Mener par deux points d'une sphère un grand cercle tangent a un cercle donné.

39. Mener par un point d'une sphère un cercle tangent a deux cercles donnés.

40. Mener par un point d'une sphère un cercle orthogonal à deux cercles donnés.

EXERCICES (2e Série)

1. Les sphères qui passent par deux points fixes et qui admettent un couple donné A, A' de points conjugués contiennent un cercle fixe.

2. Les sphères qui admettent trois couples de points conjugués donnés A, A', B, B', C, C passent par un cercle fixe. — Construire ce cercle.

3. Lieu des centres des sphères qui admettent deux couples donnés A, A', B^ B' de points conjugués.

4. Étant données deux droites D et D' qui ne sont pas réciproques par rapport aune sphère S, à chaque point A de la droite D on fait correspondre le point A' où le plan polaire du point A coupe la droite D' ; démontrer que la correspondaace entre les points A et A' est homographique. Le milieu I du segment AA '

décrit une courbe plane ; si dans le plan de cette courbe on décrit le cercle de centre I et de rayon lA, tous les cercles ainsi obtenus sont orthogonaux à un cercle fixe.

Examiner le cas où les droites D et D' sont rectangulaires.

5. La correspondance homographique entre les points A et A' {exercice 4) étant donnée d'une façon arbitraire, lieu des centres des sphères correspondantes S.

6. Étant données deux droites quelconques D et D', il existe, en général, un seul couple A, A' de droites réciproques par rapport à une sphère donnée S, qui rencontrent D et D' ; construire ces droites.

Démontrer que s'il existe plus d'un couple dételles droites, il en existe une infinité. Les points A et A' où une droite A rencontre les droites D et D' décrivent des divisions homographiques.

7. Deux couples de droites réciproques par rapport à une même sphère forment un quadruple hyperboloïde. — Cas d'exception.

8. Étant données une sphère S et trois droites quelconques A, B, C, trouver un plan P coupant les droites A, B, G en a, b, c, la sphère S suivant un cercle S tel que le triangle abc soit conjugué par rapport au cercle S.

Le problème admet en général deux solutions ; s'il en admetplus de deux, il en admet une infinité.

9. Construire une sphère sachant que, par rapport à cette sphère, le pôle d'un plan donné A est sur une droite donnée a et le pôle d'un autre plan donné B sur une droite donnée j3.

10. On considère un cône dont la base est un cercle C. Démontrer que s'il existe un trièdre trirectangle dont les arêtes sont génératrices du cône, il en existe une infinité.

Soient a, b, c les points où les arêtes d'un tel trièdre rencontrent la base ; trouver le lieu des pieds des hauteurs du triangle abc. Trouver l'enveloppe des côtés de ce triangle.

11. Le cercle C étant donné, trouver le lieu des points S tels que le cône qui a pour sommet S et pour base C contienne les arêtes d'un trièdre trirectangle.

12. Étant donné un cône dont le sommet est S et la base un cercle C, on mène une génératrice quelconque Sa du cône; le plan mené par S perpendiculairement à Sa coupe le cercle en deux points b et c. Lieu du milieu du côté bc ; enveloppe de ce côté.

13. Soient A et B deux cercles d'une sphère, S et T les sommets des cônes qui contiennent ces deux cercles, V un point quelconque de la sphère. On sait que si l'on fait une projection de centre V sur un plan P perpendiculaire au diamètre qui passe par V, les cercles A et B se projettent suivant des cercles (a) et (6). Démontrer que les points S et T se projettent aux centres de similitude de (a) et (&).

Indiquer, suivant la position du point V sur la sphère, quel est celui des points S ou T qui se projette au centre de similitude externe.

Démontrer que la projection de la droite d'intersection des plans A et B est l'axe radical des cercles (a) et (&).

14. Déduire de ce qui précède que les six centres d'inversion de trois cercles, pris deux à deux, sont les sommets d'un quadrilatère complet.

15. Soient SABG un trièdre, a, b, c les pôles des plans BSC, CSA, ASB par rapport à une sphère. Démontrer que les trois plans aSA, &SB, cSG ont une droite commune.

16. Démontrer que les quatre droites qui joignent les sommets d'un tétraèdre aux pôles des faces opposées par rapport à une sphère forment un quadruple hyperboloïde.

17. Démontrer que les quatre droites d'intersection des faces d'un tétraèdre avec les plans polaires des sommets opposés forment un quadruple hyperboloïde.

18. Soit ABCD un tétraèdre. Démontrer que si la réciproque de la droite AB rencontre la droite CD et si la réciproque de la droite AC rencontre la droite BD, la réciproque de la droite AD rencontre la droite BC.

19. Étant donnés une sphère S et un plan P, toutes les sphères £ telles que le plan radical des sphères S et e soit le plan P forment

un faisceau de sphères. Cela posé, on propose de démontrer les propriétés suivantes :

1° Deux sphères déterminent un faisceau ;

2° Par un point quelconque passe une sphère d'un faisceau donné;

3° Il existe deux sphères d'un faisceau tangentes à une droite donnée. — Condition pour que ces sphères soient réelles.

4» Il existe deux sphères d'un faisceau tangentes à un plan donné. — Dans quels cas ces sphères sont-elles réelles ?

20. Les plans polaires d'un point par rapport à toutes les sphères d'un faisceau ont une droite commune.

21. Trouver tous les couples de deux droites réciproques par rapport à toutes les sphères d'un faisceau.

22. Étant données une sphère S et une droite D, l'ensemble de toutes les sphères e telles que le plan radical des sphères S et s passe par la droite D forme un réseau de sphères. Démontrer les propositions suivantes :

1° Trois sphères qui n'ont pas, deux à deux, le même plan radical, déterminent un réseau;

2° Par deux points, on peut, en général, faire passer une sphère du réseau et une seule.

23. On considère toutes les sphères d'un réseau qui sont tangentes à un plan donné P. Lieu des points de contact.

24. Les plans polaires d'un point par rapport à toutes les sphères d'un réseau passent par un même point.

25. Étant donnés deux cercles C et C, montrer que si par le cercle C on peut faire passer une sphère orthogonale au cercle C, inversement par le cercle C on pourra faire passer une sphère orthogonale au cercle C. Quelle doit être la situation relative des cercles C et C pour qu'il en soit ainsi? Montrer que si deux cercles C et C possèdent cette propriété, il en est de même de ceux qu'on en déduit par une inversion quelconque.

26. Étant donnés deux cercles quelconques C et C, montrer qu'en général, à chaque sphère S passant par le cercle C on peut faire correspondre une sphère S' et une seule passant par le cercle = C et orthogonale à la sphère S.

Montrer qu'on peut, en général, et d'une seule manière, trouver deux sphères orthogonales Si et S2 passant par le cercle C et telles que les deux sphères S[, Si passant par le cercle C, qui leur sont respectivement orthogonales, soient elles-mêmes orthogonales.

Quelle doit être la position relative des cercles G et C pour qu'il existe une infinité de couples Si, S2 possédant la propriété indiquée?

27. Étant données deux sphères S et S', on considère tous les plans P qui coupent ces deux sphères suivant deux cercles orthogonaux C et G'. Lieu des centres des cercles C et G' ; enveloppe des plans P.

28. Mener par une droite donnée un plan coupant deux sphères données suivant des cercles orthogonaux.

29. Mener par un cercle donné une sphère coupant deux sphères données suivant des cercles orthogonaux.

30. Étant données deux sphères S et S', on considère toutes les droites D, telles que la corde interceptée sur une droite D par la sphère S soit divisée harmoniquement par la corde interceptée sur la même droite par la sphère S'. Celles de ces droites D qui passent par un point fixe P engendrent un cône; trouver les sections circulaires de ce cône.

31. Démontrer que si le point H est le point de rencontre des hauteurs d'un triangle ABC, a le pied de la hauteur issue du sommet A, 0 le centre d'un cercle tangent aux trois côtés du triangle, R son rayon, on a

2R" = ÔH" — HA X Ha.

En déduire que si un cône qui a pour sommet S et pour base un cercle C est tangent aux trois faces d'un trièdre trirectangle, il existe une infinité de trièdres trirectangles circonscrits au cône.

Le cercle G étant donné, lieu des sommets S des cônes qui possèdent les propriétés indiquées.

32. Étant données deux sphères A et B, nous appellerons bissectrice intérieure la sphère qui a pour centre le centre de similitude interne des sphères A et B et pour rayon la racine carrée de la puissance d'inversion correspondante ; bissectrice extérieure, la sphère définie comme la précédente en remplaçant le centre de

similitude interne par le centre de similitude externe. Cela posé, on propose d'établir les propriétés suivantes :

Soient A, B, G trois sphères, y et y' les bissectrices intérieure et extérieure des sphères A et B, a et a' celles des sphères B et G ; p et jî' celles des sphères G et A. Les trois sphères «', [3', y' appartiennent à un même faisceau ; les cercles d'intersection des sphères A et a, des sphères B et |3, des sphères G et y sont trois cercles d'une même sphère.

33. A, B, G étant trois sphères quelconques, D une sphère quelconque du faisceau B, G, E une sphère quelconque du faisceau G, A, démontrer : l» que les deux faisceaux D, E et A, B ont une sphère commune ; 2° qu'il en est de même des faisceaux A, D et B, E.

34. Étant données trois sphères A, B, G, soient D et E deux sphères orthogonales quelconques à ces trois sphères. On désigne par a la sphère orthogonale aux sphères B, G, D, E, par § celle qui est orthogonale aux sphères G, A, D, E, par y celle qui est orthogonale aux sphères A, B, D, E. Démontrer que les faisceaux A, a ; B, p ; G, y ont une sphère commune.

35. Désignons par {pq] elipq)' les bissectrices intérieure et extérieure de deux sphères P et Q. Démontrer que si l'on prend quatre sphères quelconques A, B, G, D :

1° Les faisceaux (ab), {cd); [ac], (bd) ; (ad), [bc) ont une sphère commune;

2° Les six sphères {^ib)', (ac)', (ad)', (bc)', (bd)', (cd)' appartiennent à un môme réseau.

36. Montrer qu'entre les angles et les côtés d'un triangle sphérique existent les solutions :

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A, sin a cos B = cos b sin c — sin b cos c cos A, sin a sin B := sin 6 sin A.