CHAPITRE I HYPERBOLE
419. Définitions. — On appelle hyperbole le lieu des points du plan tels que la différence des distances de chacun d'eux à deux points fixes F et F' de ce plan soit constante. Nous désignerons par 2a la valeur de cette constante.
Les points F et F' sont appelés les foyers de l'hyperbole; la distance FF' est la distance focale, nous la désignerons par 2c. 11 est clair que le lieu ne peut exister que si c est plus grand que a.
Les droites MF, MF' qui vont d'un point M de la courbe aux foyers F et F' sont les rayons vecteurs de ce point.
420 . Tracé de l'hyperbole d'un mouvement continu. — Pour tracer d'un mouvement continu un arc d'hyperbole, on fixe l'extrémité d'une règle en un foyer F' {(îg. 187), on prend sur cette règle une longueur F'G, plus grande
Fig. 187.
que 2a, puis un fil dont la longueur est F'G — 2a.
GUICIIARD. — TRAITE DE GliOM. II
HYPERBOLE
On fixe une extrémité du fil en G sur la règle et l'autre au foyer F. On fait tourner la règle autour du point F' et avec un crayon appuyé sur la règle on maintient le fil tendu ; la pointe M du crayon décrit un arc d'hyperbole. En effet, on a
F'M - FM = F'C - (FM + MC) = 2a.
421. Tracé de l'hyperbole par points. — Du point F' comme centre avec un rayon r supérieur à 2a^ traçons un cercle {fig. 188); décrivons un cercle du point F comme centre avec un rayon r — 2a ; tout point d'intersection de ces deux cercles appartient évidemment à l'hyperbole, La distance des centres étant plus grande que la différence des rayons, il suffit, pour
que les cercles se coupent, qu'elle soit plus petite que leur somme , c'est-à-dire que l'on ait
'^c<Cr -\-r — 2a, ou
Prenons alors, de part et d'autre du milieu 0 de la distance FF', deux points A et A' tels que OA = OA' = a; si un point K partant de A parcourt la demidroite AF, les cercles décrits des points F et F' comme centres avec AK et A'K comme rayons se coupent en deux points M et M' symétriques par rapport à la droite AA'. En faisant ainsi varier le point K, on obtient les points du lieu qui sont plus près du foyer F que du foyer F'; ces points peuvent s'éloigner indéfiniment, ils forment ce qu'on appelle une branche infinie de courbe; nous l'appellerons la branche F.
Les points du lieu qui sont plus rapprochés du foyer F' que du foyer F forment une seconde branche infinie que nous appellerons la branche F'.
HYPERBOLE 291
422. Une hyperbole partage les points du plan en trois régions : 1° Les points M pour lesquels la différence des distances
MF, MF' est plus petite que 2a. Ces points sont dits extérieurs à la courbe ; 2° Les points M tels que
MF<MF' et MF'- MF > 2a;
ces points sont dits intérieurs à la branche F; 3° Les points M pour lesquels
MF''< MF et MF — MF' > 2a ;
ils sont dits intérieurs à la branche F'.
423 . L'hyperbole admet pour axes la droite FF' et la perpendiculaire BB' menée au milieu 0 de cette droite {fig. 188); elle admet pour centre le point 0.
Même démonstration qu'au n° [746].
Tous les points de l'axe BB' sont équidistants des foyers F et F' ; ces points sont extérieurs à l'hyperbole. Cet axe est i'axe non transverse de la courbe.
La droite FF' rencontre la courbe aux points A et A' ; ces points sont les sommets de la courbe; cet axe est l'axe transverse de la courbe et sa longueur est AA' ou 2a.
On convient d'appeler longueur de l'axe non transverse une longueur 26 telle que
Le rapport — est l'excentricité de l'hyperbole; ce rapport est
plus grand que 1 .
424. On appelle cercle principal d'une hyperbole le cercle qui a pour diamètre son axe transverse AA'.
On appelle cercle directeur d'une hyperbole un cercle de rayon 2a ayant pour centre un foyer. L'hyperbole admet donc deux cercles directeurs (F) et (F'), ayant respectivement pour centres les foyers F et F'.
