Bemarque. — Le cercle (M) qui a pour centre un point

HYPERBOLE

M de la courbe et pour rayon MF {fig. 189 et 190) est tangent au cercle directeur (F'). Ces deux cercles sont tangents extérieurement si le point M est sur la branche F; le cercle (F') est tangent à l'intérieur du cercle (M) si le point M est sur la branche F'.

Fig. 189.

En effet, portons sur le rayon vecteur MF' une longueur MD égale à MF.

Si le point M est sur la branche F, MF est plus petit que MF' [fig. 189), le point D est entre M et F' et l'on a

F'D = MF' — MF = 2a ;

donc les deux cercles sont tangents extérieurement.

Si le point M est sur la branche F', MF est plus grand que

MF' {fig. 190), le point D est sur le prolongement de MF' et

l'on a

F'D = MF — MF' =2a.

Les deux cercles sont tangents, mais le cercle (F') esta l'intérieur du cercle (M).

426. Problème. — Trouver Les points d'intersection d'une droite et d'une hyperbole.

Soit M un point commun à l'hyperbole et à une droite donnée D {fig. 191). Le cercle de centre M et de rayon MF est tangent au cercle directeur F' ; d'autre part, ce cercle passe par le symétrique «p du foyer F par rapport à la droite D ; on est donc ramené à mener par les deux points F et œ un cercle

HYPERBOLE

Fig. 191.

tangent au cercle F ; le centre d'un tel cercle est un point

d'intersection M. De là la construction suivante :

On détermine [378] sur la droite Fcp un point I qui a même puissance par rapport au segment Fcp et par rapport au cercle F' ; les points de contact T et T' des cercles cherchés avec le cercle F' sont les points de contact des tangentes issues du point I au cercle F'.

Les centres des cercles, c'est-à-dire les points d'intersection demandés, peuvent s'obtenir par l'une ou l'autre des deux constructions suivantes :

1° Ils sont situés sur les rayons F'T, F'T' qui passent par les points de contact;

2° Ils sont situés sur les perpendiculaires menées aux segments FT et FT' en leurs milieux H, H'.

La première construction n'est pas applicable si la droite D passe par le foyer F', car alors les points T et T' sont situés sur la droite D.

La deuxième construction n'est pas applicable si le point o est sur le cercle F', car alors les points T et T' sont confondus avec cp et les perpendiculaires menées à FT et FT' en leurs irtilieux coïncident avec la droite D elle-même.

La construction précédente est encore applicable si la droite D passe parle foyer F; le point a, est en F; la droite Fcp est la perpendiculaire menée en F à la droite D ; il faudra trouver

sur cette perpendiculaire un point I tel que IF" soit égal à la puissance du point I par rapport au cercle F'; la solution s'achèverait comme plus haut.

HYPERBOLE

Fig. 192.