Discussion. — Nous distinguerons plusieurs cas

1° Le point cp est à l'intérieur du cercle F' {fig. 192).

Le point F étant extérieur à ce cercle, il n'existe pas de cercles tangents au cercle F' passant par les points F et cp ; la droite D ne rencontre pas l'hyperbole. Il est facile de montrer que tout point M de cette droite est extérieur à l'hyperbole. En effet, la différence entre les longueurs des rayons vecteurs MF et MF' est égale à celle de Mo et MF', elle est donc pluç petite que cpF' et a fortiori plus petite que 2a, rayon du cercle F' ; donc le point M est extérieur à l'hyperbole. Nous dirons dans ce cas que la droite D est ea;^erieure à l'hyperbole. En particulier, si le point cp se confond avec le foyer F', la droite D devient l'axe non transverse de l'hyperbole.

Pour discuter le cas où le point cp est extérieur au cercle F', nous mènerons du foyer F les tangentes FH et FH' au cercle F'. Nous considérerons les cas suivants :

Fig. 193.

^ 2° Le point cp n'est pas situé dans l'angle HFH' ou dans son opposé par le sommet {fig. 193), autrement dit la droite indéfinie Fcp est extérieure au cercle F'.

Le point I est extérieur au cercle F' et les deux tangentes IT,

HYPERBOLE

IT' au cercle F' sont d'un même côté de la droite Fç ; les contacts des deux cercles tangents sont de nature différente ; l'un des points d'intersection M sera sur la branche F, l'autre point M' sur la branche F'. Nous dirons dans ce cas que la droite D est sécante aux deux branches de l'hyperbole.

3° Le point cp est dans l'angle HFH' ou dans son opposé par le sommet, mais le segment Fo ne rencontre pas le cercle F' [fig. 194, 190).

Dans ce cas, le point I est situé [378] dans la portion de la droite Fcp qui est comprise entre le segment Fcf et le segment

Fig. 195.

déterminé sur cette droite par le cercle F' ; par conséquent, le segment Yo est en dehors de l'angle TIT', les deux contacts sont extérieurs; donc les deux points d'intersection M et M' sont situés sur la branche F. Nous dirons dans ce cas que la droite D est sécante à la branche F. En particulier, si le point «p coïncide avec le foyer F, la droite D passe par ce foyer.

4° Le point o est dans l'angle HFH' et le segment Fcp rencontre le cercle F' en deux points {fig. 196).

Dans ce cas, le point I est extérieur au segment Fcf [378] ; ce segment est situé à l'intérieur de l'angle TIT' ; par conséquent.

HYPERBOLE

les contacts des deux cercles tangents sont des contacts intérieurs ; les deux points d'intersection M et M' sont situés sur la branche F'. Nous dirons que la droite D est sécante à la, branche F. En particulier, si les points o et F sont équidistants du

Fig. 196.

ioyer^ F', le point f s'en va à l'infini, et la droite D passe par le foyer F'.

Il reste à voir ce qui se passe lorsque le point cp vient sur les frontières des régions que nous venons de délimiter. Nous avons donc à examiner les cas suivants :

5° Le point cp est sur le cercle F' {/ig. 197).

Le point 1, et par conséquent les deux points T et T', sont conlondus avec le point «f ; les deux points d'intersection se trouvent au point de rencontre de la droite F'cp avec la droite D. Nous dirons, dans ce cas, que la droite D est tangente à l'hyperbole. Le point M est le point de contact de la tangente.

6° Le point f est sur r un des côtés de l'angle HFH' {fig. 198). Le point I est sur la droite FepH ; l'un des points T et T' est

HYPERBOLE

en H ; au point ï qui est en H correspond un point d'intersection M rejeté à l'infini ; au point T' correspond un point d'intersection M'. Nous dirons dans ce cas que la droite D est -parallèle à une asymptote.

1° Le point cp vient en l'un des points de contact H ou H', par exemple, au point H (A^.198).

Le point I, et par suite les deux points T et T', sont confondus avec le point H ; les points d'intersection correspondants M et M' sont rejetés à l'infini sur la droite A perpendiculaire à FH en son milieu.

Nous dirons que la droite ^ est une asymptote de l'hyperbole. On voit qu'il y a deux asymptotes correspondant aux positions H et H' du point ç.

Il faut remarquer que la droite D (6°) est parallèle à la droite A, ce qui justifie la dénomination de parallèle à une asymptote que nous lui avons donnée.

428. Positions relatives d'une droite et d'une hyperbole. — Ayant examiné toutes les positions possibles que peut prendre le point (f, il en résulte que nous avons examiné toutes les positions possibles que peut avoir une droite par rapport à une hyperbole. Donc :

Par rapport à une hyperbole, ayant pour foyers F et F', une droite peut occuper sept positions différentes :

1° La droite est extérieure à l'hyperbole ;

2° La droite est sécante aux deux branches de l'hyperbole ;

3° La droite est sécante à la branche F ;

4° La droite est sécante à la branche F' ;

-5° La droite est tangente à l'hyperbole ;

HYPERBOLE

6° La droite est parallèle à une asymptote ; 1° La droite est asymptote à l'hyperbole.

429. Théorème. — Toute tangente à l'hyperbole est bissectrice de l'angle des rayons vecteurs qui passent par le point de contact.

En effet, si D est une droite tangente en M (fig. 197) à l'hyperbole, le symétrique cp du foyer F par rapport à D est sur le cercle directeur F' et ce point cp est sur la droite F'M (427, 5°); le triangle MFcf est isocèle et la droite D est la bissectrice de l'angle FMF'.

Inversement, si par un point M de l'hyperbole on mène la bissectrice D de l'angle FMF', le symétrique cp de F par rapport à la droite D sera sur le cercle directeur F'; donc (427) la droite D est tangente à l'hyperbole.

On démontre facilement que cette tangente D est la limite d'une sécante MM' à l'hyperbole, quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M.

En effet, à une sécante MM' correspondent sur le cercle F' deux points de contact T et T' placés sur les droites F'M, F'M' ; si le point M' se rapproche indéfiniment du point M, le point T' se rapproche indéfiniment du point T (427, 3° et 4°) ; par conséquent, le point cp vient comme position limite sur le cercle F'. Donc la droite MM' a une position limite qui est la tangente en M à l'hyperbole.

430. Théorème. — Le lieu des symétriques d'un foyer par rapport aux tangentes d'une hyperbole est le cercle directeur (424) qui a pour centre l'autre foyer.

Cela résulte de la discussion du no 427.

431. Théorème. — Le lieu des projections d'un foyer sur les tangentes à l'hyperbole est le cercle principai{htl:.h:).

En effet, soient D une droite quelconque {fig. 199)^ cp le symétrique du foyer F par rapport à cette droite, L la projection de F sur la droite D. Traçons les droites F'cp et OL, OL sera la moitié du segment F'cp, Si la droite D est une tangente.

HYPERBOLE

le point «f est sur le cercle directeur F' et F'cp = 2a (427,5°). Donc OL = a et par conséquent le point L est sur le cercle principal.

Réciproquement, si le point L est sur le cercle principal, le

Fig. 199.

point cp sera sur le cercle directeur F' et la droite D sera tangente à l'hyperbole. Donc :

Si la projection d'un foyer sur une droite D est située sur le cercle principal, la droite D est tangente à l'hyperbole.