F' H OL = -^ = OA
et l'angle 0 est commun ; il en résulte que OC = OF. D'où la construction suivante :
Du centre 0 avec un rayon égal à c on décrit un cercle qui coupe la tangente au sommet en deux points G et C; les asymptotes sont les droites OC, OC.
On peut remarquer que AC = è, car OC = c et OA = a.
Fig. 201.
Fig. 202.
434. Hyperboles conjuguées. — Prenons, sur l'axe non transverse d'une hyperbole H {fig. 202), deux points B et B' tels que
HYPERBOLE 30 t
OB = OB' = b,
et considérons l'hyperbole Hi qui a pour sommets les points B et B' et pour distance focale 2c. On voit que si l'on appliquait la même construction à l'hyperbole Hi, on retomberait sur l'hyperbole H; ces deux hyperboles H et Hi sont dites conjuguées.
Ces deux hyperboles ont les mêmes asymptotes ; ce sont les diagonales du rectangle obtenu en menant par les points B et B' des parallèles à l'axe AA' et par les points A et A' des parallèles à l'axe BB'.
435. Propriétés d'une asymptote. — Supposons que le point cp se rapproche indéfiniment du point H en restant sur la tangente FH au cercle directeur F' [fig. 198). La droite D se déplace parallèlement à elle-même et a pour position limite l'asymptote A, Le point I, et par suite le point T', se rapproche indéflniment du point H, la droite F'T' a pour position limite F'H qui est parallèle à la droite D; il en résulte que le point d'intersection correspondant M' s'éloigne indéfiniment sur sa branche; la distance du point M' à l'asymptote a, qui est constamment égale à la moitié de cpH, tend vers zéro. Donc :
Quand on s'éloigne indéfiniment sur une branche d'hyperbole, la distance du point mobile à une asymptote tend vers zéro.
On peut remarquer que le point cp peut se rapprocher du point H en restant soit sur le segment FH, soit sur son prolongement. Dans le premier cas, le point d'intersection correspondant M' s'éloigne indéfiniment sur la portion de la branche F qui est du même côté que le point H par rapport à l'axe FF'; dans le second cas, le point M' s'éloigne indéflniment sur la portion de la branche (F') qui est du côté opposé à H par rapport à l'axe FF'.
Il y a donc, sur chaque branche, une partie qui se rapproche indéfiniment d'une asymptote.
Supposons au contraire que le point «p se rapproche indéfiniment du point H en restant sur le cercle directeur (F'); la droite correspondante D est tangente à l'hyperbole. Cette droite
HYPERBOLE
a évidemment pour position limite l'asymptote A [fig, 197), lorsque le point de contact M s'éloigne indéfiniment sur sa branche. Donc :
Quand un point s'éloigne indéfiniment sur une branche d'hyperbole, la tangente en ce point a pour position limite l'asymptote correspondante.
Propriété déjà remarquée plus haut (427, 7°).
436. Mener une tangente à une hyperbole en un point M (le cette courbe. — On joint le point M aux foyers F et F' et on mène la bissectrice de l'angle FMF'; c'est la tangente demandée (429).
437. Mener à une hyperbole une tangente parallèle à une droite donnée D {fig. 203). — Le symétrique du foyer F par
rapport à la tangente cherchée se trouve d'une part sur le cercle directeur F', d'autre part sur la perpendiculaire Fcp menée du foyer F à la droite D (429 et 430).
Si cette perpendiculaire rencontre le cercle F' en deux points tpi et Çgs 1^ problème admettra deux solutions ; ce sont les parallèles à D menées par les milieux des segments Fcpi et Fcpa. On démontrera dans ce cas, comme pour l'ellipse [763], que les deux points de contact M et M' sont les extrémités d'un même diamètre.
Si la perpendiculaire Fcp à la droite D ne rencontre pas le cercle F', le problème est impossible.
Menons alors les deux asymptotes COC et CiOGl, qui sont
HYPERBOLE
perpendiculaires aux milieux de FH, FH' (427, To), et soit COCi l'angle de ces asymptotes qui a le point F à son intérieur, c'està-dire l'angle qui contient tous les points de la branche F ; menons par le centre la parallèle a à la droite donnée D.
Pour que le problème soit possible, il faut que la droite Fa. soit dans l'angle HFH', et par suite la perpendiculaire a à F© est située dans l'angle GOCi ou dans son opposé par le sommet ; autrement dit, la parallèle a à la droite D menée par le centre 0 doit tomber dans ceux des angles des asymptotes qui ne contiennent aucun point de la courbe.
438. Mener une tangente à l'hyperbole par un point P de son ^ plan [fig. 204). — La solution
est la même que dans le cas de l'ellipse ; on cherche le symétrique du foyer F par rapport à la tangente cherchée.
Ce symétrique se trouve d'une part sur le cercle directeur F' et d'autre part sur le cercle qui a pour centre P et pour rayon FF.
Pour que ces deux cercles se coupent, il faut que l'on ait
(1) PF'<2a-hPF, avec
PF < 2a,
Fig. 204.
PF' > 2a — PF
ou
PF' > PF — 2a
si
SI
PF > 2a.
La condition (2) est toujours vérifiée, car elle est équivalente à PF + PF'>2a.
Or le triangle PFF' donne
PF + PF'>2c>2a.
Cela posé, si la distance PF' est plus grande que la distance PF,
304 HYPERBOLE
la condition (3) est satisfaite et la condition (1) donne
PF— PF<2a.
Si au contraire la distance FF' est plus petite que la distance PF, la condition (1) est satisfaite et la condition (3) donne
PF-PF'<2a.
Dans tous les cas, la valeur absolue de la différence PF — PF' doit être moindre que 2a, c'est-à-dire que le point P doit être extérieur à l'hyperbole.
Il résulte de là que tout point d'une tangente, sauf le point de contact, est extérieur à l'hyperbole.
439. Théorème. — Si d'un point P on mène les tangentes PM, PM' à une hyperbole : 1° les deux angles MPM' et FPF' ont les mêmes bissectrices ; 2° la droite FP est bissectrice de l'angle MFM' {fig. 204).
Même démonstration que pour l'ellipse [n° 767J. 11 y a lieu de faire la remarque suivante :
Si les points de contact M et M' sont sur une même branche, la bissectrice intérieure de l'angle FPF' coïncide avec la bissectrice extérieure de l'angle MPM' ; la droite FP est la bissectrice intérieure de l'angle MFM'.
Si les points de contact M et M' sont sur des branches distinctes, les angles MPM' et FPF' ont la même bissectrice intérieure et la droite FP est la bissectrice extérieure de l'angle MFM'.
