M'E - ME = 2IE = 20H

M'F — MF = eX20H.

Mais MF = M'F' ; on aura donc

M'F — M'F' ^ ex20H.

Cette différence étant constante, les points M' et M sont sur une hyperbole qui a pour foyers F et F' ; le point M appartient à la branche F, le point M' à la branche F'.

441. Remarque I. — La démonstration qui précède prouve que tout point du lieu est sur l'ellipse ou sur l'hyperbole ; il faut montrer qu'inversement tout point de l'ellipse ou de l'hyperbole appartient au lieu. Dans le cas de l'hyperbole, la démonstration est immédiate; en effet, le point E {fig. 206) est intérieur au segment NN', par conséquent sur toute parallèle ER à la droite AA' il y a deux points M et M' du lieu. Il est clair que ces points décriront toute l'hyperbole.

Dans le cas de l'ellipse, on démontrera que la condition nécessaire et suffisante pour que le cercle qui a pour diamètre NN' rencontre la droite ER, c'est que la longueur EH ne surpasse pas le petit axe de l'ellipse.

442. Remarque II. — Nous allons montrer en outre que toute ellipse ou toute hyperbole peut être obtenue de cette façon.

Considérons d'abord une ellipse qui a pour foyers F, F' et pour sommets A, A' {fig. 207); soit H le conjugué harmoni-

DIRECTRICES DES CONIQUES

que du foyer F par rapport au grand axe AA' ; menons par

le point H la droite D perpendiculaire à AA'. On aura