DIVISIONS EN INVOLUTION
Mais la formule (11) donne
xxi — $"2 = — a.(xi — X) ;
(12) (HKMMi) = ^^•
Divisions en involution.
23. Deux divisions homographiques de même base forment une involution si l'équation de la correspondance est symétrique par rapport aux abscisses x et Xi de deux points homologues. L'équation de la correspondance sera donc de la forme
(1) AxXi-\-B(x^Xi)-i-C = 0.
Un point quelconque M de la droite L, considéré comme appartenant successivement à la première division et à la seconde, a le même homologue M'.
24. Réciproquement, si dans une homographie un point M de la première division a pour homologue un point M' de la seconde, et si le point M' de la première a pour homologue le point M dans la seconde, la correspondance homographique est une involution.
En effet, soient
kxxi H- Ba? + Ga?i H- D = 0 l'équation de la correspondance homographique, ? et r, les abscisses des points M et M'. En écrivant qu'au point M de la première division correspond le point M' dans la seconde^ on aura
(2) Aev]-^B?-hG-oH-D = 0.
En écrivant de même qu'au point M' de la première correspond le point M dans la seconde, on aura
En retranchant membre à membre les formules (2) et (3), on a
et par conséquent B = G. La correspondance homographique est en involution.
25. Discussion. — Si A est différent de zéro, on pourra diviser l'équation de la correspondance par A et l'écrire sous la
forme
XX i — a(j? -h a?i) -H j3 = 0, .
ou
en prenant comme origine 0 le point dont l'abscisse est a, on
aura
xxi = k.
Si Â; = 0, l'involution est singulière; tout point de la droite a pour homologue le point 0.
Supposons k différent de zéro ; quand x^ croît indéfiniment, X tend vers 0, le point 0 est donc l'homologue du point à • l'infini. Ce point 0 est appelé le point central de l'involution. Le produit des distances de deux points homologues quelconques au point central est égal à k.
Supposons maintenant A = 0. L'équation de la correspondance peut s'écrire, après avoir divisé par B,
a? -t- a?i — /« = 0, ou encore
En transportant l'origine au point 0, dont l'abscisse est —5
on aura
