MF MP KM

wf ~ MP' ~^ ~wr'

Cette relation prouve que la droite FK Fig. 209. est une des bissectrices de l'angle MFM'.

Si la courbe est une ellipse, une parabole, ou encore si la courbe étant une hyperbole, les points M et M' appartiennent à une même branche, les points M et M' seront d'un même côté de la directrice D ; la droite FK est donc une bissectrice extérieure de l'angle MFM'. ^

DIRECTRICES DES CONIQUES

Si au contraire, la courbe étant une hyperbole, les points M et M' sont sur des branches différentes, ces points seront de part, et d'autre de la directrice D ; la droite FK est alors bissectrice intérieure de l'angle MFiW.

445. Corollaires. — Supposons que le point M' se rapproche indéfiniment du point M ; la droite MM' a pour position limite la tangente MT en M. Menons la bissectrice intérieure FI de l'angle MFM' (^/?^. 209) ; FK reste constamment perpendiculaire à FI; mais la position limite de FI est FM. Donc:

La tangente en un jjoint quelconque M d'une conique rencontre la directrice qui correspond au foyer F [fig. 210) en un point K tel que la droite FK est perpendiculaire au rayon vecteur FM. Par le point K menons la seconde tangente KM' ; la droite FK sera aussi perpendiculaire à la droite FM'; les trois points M, M', F sont alors en ligne droite. Donc : Si d'un poin t K d'une directrice on mène les tangentes à une conique^ la corde des contacts passe par le foyer correspondant F et

Fig. 210.

est perpendiculaire à la droite KF.

446. Problème. — On considère toutes les coniques qui passent par deux points fixes k et Ji et qui ont une directrice fixe D (fig, 211). Lieu des foyers correspondants d cette directrice.

Soient I le point de rencontre de la droite AB avec la directrice, I' le conjugué harmonique du point I par rapport à A et B, F un point du lieu. Qn aura (444)

FA TA — = - = const.

Le lieu est donc le cercle qui a pour diamètre ir.