Problème. — Construire une conique ayant un foyer

DIRECTRICES DES CONIQUES 311

donné F et passant par trois points donnés A, B, G [fig. 212).

Soient yi et 72 les points où les deux bissectrices de l'angle

AFB rencontrent la droite AB; soient de même Pi, pôles points de rencontre de la droite AG avec les deux bissectrices de Tangle AFG, La directrice D correspondant au foyer F doit passer (443) par l'un des points yi ou Y2 et Tun des points Pi ou P2 ; ce qui donne quatre positions possibles pour la droite D.

Inversement, à chacune de ces positions correspond une solution. En effet, soient y l'un des points yi ou ^^, p Tundes points Pi ou Pa, D la droite Py, ka, Bô, Gc les perpendiculaires abaissées des points A, B, G sur la droite D. Je dis que la conique qui a pour foyer F, pour directrice D et pour excentri-

AF

cité -7— passe par les points A, B, G ; elle passe évidemment

par le point A à cause du choix de l'excentricité. On a ensuite

ka Bô

FA

yA yB

FB

FA FB

ka

Bè

ou

ce qui montre que la conique passe par B. On voit de même qu'elle passe par G.

Si les points P et y sont les pieds des bissectrices extérieures, les points A, B, G sont sur une même branche de la courbe ; dans ce cas la conique peut être une ellipse, une parabole ou

FA

une hyperbole suivant la valeur du rapport --— • Pour toutes

les autres combinaisons, les points A, B, G sont sur des branches différentes ; les coniques correspondantes sont des hyperboles.

DIRECTRICES DES CONIQUES

448. Théorème. — La polaire réciproque d'un cercle C par rapport à un cercle 0 est une conique ayant pour foyer le centre du cercle 0 et pour directrice correspondante la polaire du centre du cercle C par rapport au cercle 0.

Nous nous appuierons sur le lemme suivant :

AO Lemme. — Le rapport -rr— des distances de deux points quel- BU

conques A et ^ au centre d'un cercle 0 [fig. 213) est égal au

rapport -—- des dislances de chacun de ces points à la polaire BN

de Vautre.

En effet, soient A' et B' les pieds des polaires de A et B. On a