OF ~ OM

Si nous comparons les relations (1) et (2) et si nous remarquons que OF = Bb et OM = OB, nous en concluons que GF est égal à Mm.

Gela posé, les deux triangles rectangles MFm et FMG sont

égaux comme ayant l'hypoténuse commune et les côtés Mm et

FG égaux; donc

m¥ = MG.

On verrait de même que

mF' = MG' ; donc

mF + mF' = MG + MG' = MM' = AA'.

Le lieu des points m est donc une ellipse qui a pour foyers les points F et F', les sommets du grand axe étant A et A'.

451. Remarque. — Le grand axe de la projection est égal au diamètre AA' du cercle, le petit axe est la droite bb'. Si donc on désigne par a le demi grand axe de l'ellipse, par b le demi petit axe, par V l'angle que fait le plan du cercle avec le plan de projection, on a

Oè=OBxcosV,

ou

b = aXCOsV.

Dans le triangle rectangle MmP, on a aussi

mV = MP cos V = MP X — •

PROJECTION ORTHOGONALE D UN CERCLE

Supposons le cercle rabattu sur le plan de l'ellipse {fig. 216),

il se rabat suivant le cercle principal de Tellipse. A chaque point M du cercle, on fait correspondre un point m de l'ellipse situé sur la perpendiculaire MP au diamètre AA' et tel que

Pm = PM X — •

On obtient donc l'ellipse en réduisant les ordonnées du cercle, perpendiculaires à un

même diamètre, dans le rapport —

Considérons maintenant le cercle qui a bb' pour diamètre ;

un rayon issu du centre 0 rencontre ce cercle en n et le cercle

de diamètre AA' en M ; menons par n la parallèle au grand axe

et par le point M la parallèle au petit axe, ces deux droites se

coupent sur l'ellipse. En effet, si m est leur point d'intersection

{fig. 216), on a

Pm On b

"PM ^ "Ôm"^ ■^'

ce qui montre que m est sur Tellipse.

Soit alors Q le point où la droite mn rencontre le petit ax.e bb'. On a

Qm OM a ~ ~Ôn ~ T'

Qn

On en déduit que l'ellipse s'obtient en dilatant dans le rapport de -7- les perpendiculaires menées des points du cercle {bb'] ■sur le petit axe bb'.

PROJECTION ORTHOGONALE D UN CERCLE