Soient

un point N tel que

donc

Ni un point quelconque du plan du cercle [fig. 217), n sa projection sur un plan passant par le diamètre AA', NiP la perpendiculaire abaissée du point Ni sur le diamètre AA'. Faisons tourner le plan du cercle autour de la droite AA' de façon à l'amener sur le plan de l'ellipse ; le point Ni vient sur la perpendiculaire Pn à AA' en Mais

PN = PNi.

Pn -— PNi X cos Y

Pn = PNX— •

A chaque point n on fait donc correspondre un point N; les deux points correspondants n et N sont sur une même perpendiculaire à AA' et le rapport des distances des points n et N à

cette droite est égal à — ; inversement, à chaque point N on fait

correspondre un point n.

Les points de la droite AA' sont les seuls qui coïncident avec ■leurs correspondants.

Si le point N décrit une droite D, son correspondant n décrira aussi une droite d ; en effets la droite D est le rabattement d'une droite Di du plan du cercle ; quand le point N décrit une droite D, le point Ni {fig. 217) décrira aussi une droite Di, et par conséquent le point n décrira la projection de cette droite Di sur le plan de l'ellipse, c'est-à-dire une droite d. '

A chaque droite D on fait correspondre une droite d et inversement ; les deux droites correspondantes D et c? se coupent sur la droite AA' ou bien sont parallèles à cette droite.

A deux droites parallèles D et D' correspondent deux droites parallèles d et d', et inversement.

Aux points d'intersection d'une droite D et du cercle prin-

PROJECTION ORTHOGONALE D'UN CERCLE

cipal correspondent les points d'intersection de la droite d et de l'ellipse.

Si la droite D est tangente au cercle principal, la droite correspondante d est tangente à l'ellipse.

Toutes ces propriétés permettent de ramener les constructions à faire sur l'ellipse à des constructions à faire sur le cercle principal.

Pour pouvoir faire ce passage, il suffit de résoudre le problème suivant.

453. Problème. — Construire le point N qui correspond à un point n et inversement {fig. 218).

Soient AA' et bh' les axes de l'ellipse; prenons sur le petit

axe OB = OB' = OA.

Pour construire le point N qui correspond à un point n, on joint le point n au point b ; la droite ainsi menée rencontre le grand axe en T; le point cherché N est à l'intersection de la droite BT et de l'ordonnée Pn du point n.

Pour construire n connaissant N, on trace la droite BN qui coupe le grand axe en T ; n est à l'intersection de la droite Ib et de l'ordonnée PN du point N.

454. Aire de l'ellipse. — En considérant l'ellipse comme la projection orthogonale d'un cercle et en appliquant le théorème du no 204, on aura, en désignant par V l'angle que fait le plan du cercle avec le plan de l'ellipse.

Fig. 218.

aire ellipse = aire cercle X cos V.

320 PROJECTION ORTHOGONALE d'uN CERCLE

Mais

aire cercle = r.a^

et Ces V = -;

donc

aire ellipse — r.ab.