Théorème. — La section d'un côve de réoolulioii par un

322 SECTIONS PLANES DU CONE DE RÉVOLUTION

plan qui ne passe pas par le sommet est une ellipse, une parabole ou une hyperbole (Théorème de Dandelin).

Pour démontrer ce théorème, nous prendrons comme plan de la figure le plan mené par Taxe du cône perpendiculairement au plan sécant ; ce plan coupe le cône suivant deux génératrices SU et SV et le plan suivant une droite L, Gela posé, nous considérerons trois cas :

1° La droite L coupe les génératrices SU et SV en des points A et A' situés sur une même nappe {fig . 220).

Considérons les deux cercles 0 et 0' inscrits dans l'angle ASA' et tangents au segment AA' ; ces cercles 0 et 0' touchent respectivement SU en B et C, SV en B' et C, AA' en F et F'. Si l'on fait tourner la figure autour de Taxe du cône, la droite SU engendre le cône, les points B, G des cercles BB', GG', les cercles 0, 0' des sphères 0, 0' ; le cône touche respectivement les sphères 0, 0' suivant les cercles BB', GG' ; il faut remarquer que ces sphères 0, 0' touchent respectivement le plan sécant en F, F', car les rayons OF et O'F' sont perpendiculaires au plan sécant.

Gela posé, soit M un point quelconque de l'intersection ; menons par le point M un plan perpendiculaire à l'axe ; il coupe le cône suivant un cercle HH' et le plan sécant suivant une droite MP perpendiculaire au plan de la figure. Menons ensuite la génératrice SM du cône ; elle rencontre les cercles BB' et GG' en G et G'; les droites MG et MF sont tangentes à la sphère 0, les droites MG', MF', à la sphère 0'. Donc