DIVISIONS EN INVOLUTION
point central de l'involution. L'équation de la correspondance
est
xxi = k.
Il en résulte que l'abscisse ^ d'un point double satisfait à
l'équation
Si k est positif, il existera deux points doubles H et K
{fig. 6) ayant pour abscisses
^ ^-j — ^ -^-- -i-s/K —\/k. Si M et M'
sont deux points correspon- '^" ' dants quelconques, on aura
OM.OM' = k = m^ ;
donc (6) deux points correspondants quelconques M et M' divisent harmoniquement le segment HK formé par les points doubles.
Si A; est négatif, il n'y a pas de points doubles.
Si k est nul, les points doubles sont confondus avec le point central.
Supposons A = 0; l'involution devient une symétrie; en prenant comme origine le centre de symétrie 0, l'équation de la correspondance devient
Au point situé à l'infini, correspond un point situé à l'inlini. Le point à l'infini est donc un point double. Il y a un autre point double, le centre de symétrie 0.
Dans ce cas particulier, deux points correspondants quelconques M et M' forment encore une division harmonique avec les points doubles.
27. Théorème. — Deux couples de points correspondants déterminent une involution.
Soient A, A' et B, B' deux couples de points correspondants. Si les segments AA' et BB' ont le même milieu 0, la symétrie de centre 0 sera l'involution cherchée.
Si les segments AA', BB' n'ont pas le même milieu, on pourra
GUICHARD. — TRAITÉ DE GÉOM . Il 2
trouver (9) un point I tel que
lA.IA' = IB.IB'.
L'involution qui a pour point central le point I et pour valeur de la constante k (25) le produit lA .lA' est Tinvolution cherchée.
28. Pour que trois couples de points correspondants appartiennent à une involution, il faut et il suffit que le rapport anharmonique de quatre de ces six points soit égal à celui de leurs homologues.
La condition est nécessaire. En effet, si A, A', B^B', G,C' sont trois couples de points correspondants d'une involution, aux points A, A'^ B, G correspondront les points A', A, B', G' ; la correspondance étant un cas particulier d'une correspondance homographique, on aura (17)
