MF = ME

Le lieu du point M est donc une parabole qui a pour foyer F et pour directrice DR. Le point A est le sommet de cette parabole.

457. Remarque I. — Nous avons établi, dans le numéro précédent, que les points communs à un cône de révolution et à un plan sont situés sur une conique. 11 importe d'établir que tout point de cette conique est situé sur le cône. Pour cela, menons un plan perpendiculaire à l'axe ; il coupe le cône suivant un cercle C, dont tous les points appartiennent au cône. Supposons alors qu'un point M de la conique ne soit pas situé sur le cône; joignant le sommet S du cône au point M, la droite SM coupera le plan du cercle en un point m, non situé sur le cercle. Par le point m menons une sécante mpq au cercle ; les droites Sp, S^r coupent le plan de la conique en des points P et Q qui, d'après le théorème direct, sont situés sur la conique. Mais les trois points M, P, Q sont en ligne droite ; il existerait donc une droite coupant la conique en trois points, ce qui est impossible.

458. Remarque H. — Coupons un cône par un plan passant par l'axe ; l'intersection se compose de deux génératrices USU', VSV {fig. 223).

Tous les points de la nappe SU se projettent sur le plan sécant à l'intérieur de l'angle USV; ceux de la nappe SU'^ à l'intérieur de l'angle U'SV. Imaginons un plan sécant ri perpendiculaire au plan de la figure ; par le sommet S menons le plan II' parallèle à il.

SECTIONS PLANES DU CONE DE RÉVOLUTION

Dans le cas de la section elliptique, la trace du plan n' est située dans les angles USV et VSU' ; tous les points d'une même nappe sont d'un même côté du plan n' ; il en résulte que le plan n ne rencontre qu'une nappe du cône; chaque génératrice de cette nappe rencontre le plan n.

Dans le cas de la section hyperbolique, la trace du plan n' est à l'intérieur des angles USV et U'SV ; le plan n' coupe donc le cône suivant deux génératrices, et le plan n rencontre les deux nappes du cône.

Dans le cas de la section parabolique, la trace du plan n' est l'une des génératrices SU ou SV ; supposons que ce soit SV. Le plan n' est le plan tangent au cône suivant la génératrice SV. Chacune des nappes du cône est encore d'un même côté du plan n' ; le plan n ne rencontre encore qu'une seule nappe ; toutes les génératrices de cette nappe (à l'exception des génératrices SV ou SV) rencontrent le plan n.

459. Problème. — Trouver le lieu des sommets des cônes de révolution qui contiennent une conique donnée.

1° La conique donnée est une ellipse.

Nous savons déjà que le sommet S du cône doit se trouver

dans le plan mené par le grand axe AA' {fig. 22i) perpendiculairement au plan de l'ellipse et que le cercle 0, inscrit dans le triangle SAA', touche le grand axe AA' en l'un des foyers ; soient F ~- le point de contact, B et G les points où ce cercle touche les génératrices SA et SA'. On a