BA, CE

Le point S est donc situé sur la parabole qui a pour foyer A et pour directrice A; cette parabole a pour sommet le point F.

Inversement, soit S un point de cette parabole ; menons la droite AS et la perpendiculaire SE à la directrice. On voit facilement que le cercle inscrit dans l'angle ASE et tangent à l'axe AL touche cette droite au point F ; piar conséquent, le cône dont l'angle au sommet est l'angle ASE est coupé par le plan de la parabole suivant la parabole donnée.

Deux paraboles sont dites focales lorsqu'elles sont situées dans des plans rectangulaires et que le foyer de chacune d'elles est le sommet de l'autre. Chacune de ces paraboles est le lieu des sommets des cônes de révolution qui contiennent l'autre.

SECTIONS PLANES DU CONE DE RÉVOLUTION 331

460. Problème. — Placer une conique donnée sur un cône de révolution donné.

Nous supposerons le problème résolu et nous prendrons comme plan de la figure le plan mené par l'axe du cône perpendiculairement au plan de la section ; ce plan coupe le cône donné suivant deux génératrices USU', VSV ; cela posé, nous distinguerons trois cas :

1° Z-a conique donnée est une ellipse {fig. 2:27). Les sommets A et A' sont sur les génératrices SU et SV, et si A'K est la perpendiculaire à l'axe, on a (456) AK = FF'. Dans le triangle AA'K, on connaît le côté AK égal à la distance focale, le côté AA' égal au grand axe, et l'angle AKA' qui est le complément du demiangle au sommet du cône; le côté AA' étant plus grand que le côté AK, on pourra toujours [224] construire un triangle égal au triangle AA'K. Ce triangle étant construit, on mènera par le milieu 0 du côté A'K la perpendiculaire à A'K ; cette perpendiculaire rencontre le côté AK en un point S. Le cône qui a po.ur angle au sommet ASA' est égal au cône donné ; il est coupé par le plan qui a pour trace AA' suivant une ellipse égale à l'ellipse donnée. Donc :

On peut toujours placer une ellipse donnée sur un cône de révolution donné.

Avec les données de la question, le triangle AA'K est déterminé comme forme, donc le segment SI est invariable; il en est de même de l'angle de l'axe AA' avec SL Donc :

Les plans qui coupent une nappe d'un cône suivant une ellipse égale à une ellipse donnée rencontrent l'axe du cône en un même point I ; les grands axes de ces ellipses sont situés sur un cône de révolution qui a pour sommet 1 et pour axe l'axe du cône donné; les plans des sections sont tangents au cône de sommet l.

SECTIONS PLANES DU CONE DE RÉVOLUTION

2° La conique donnée est une hyperbole {fig. 2:28). Menons encore la droite A'K perpendiculaire à l'axe. Tout re fient encore à construire le triangle AA'K dans lequel

ÂA' = 2a, AK = 2c,

Â^ = ldr o,

0 étant le demi-angle au sommet du cône. Pour que cette construction soit possible, il faut que [224]

2« > 2c cose,

a d'où cos 6 < —

D'autre part, si Ton désigne par a l'angle que fait une asymptote avec l'axe transverse, on a (432)

Fig. 2Q8.

donc on doit avoir

cos a = — ,

ou

cos e < cos a,

OU 2a < 26.

Donc

Pour qu'on puisse placer une hyperbole sur un cône de révolulion donné, il faut et il suffit que l'angle des asymptotes dans lequel est placé la courbe soit plus petit que l'angle au sommet du cône.

Si cette condition est remplie, la construction du triangle A'AK admet deux solutions [224] ; il y correspondra donc deux valeurs pour le segment de l'axe SI compris entre S et le plan sécant, et deux valeurs correspondantes pour l'angle SIA. Donc :

Les plans qui coupent un cône suivant une hyperbole égale à une hyperbole donnée se partagent en deux séries; les plans d'une même série coupent l'axe du cône en un même point 1 et ces plans enveloppent un cône de révolution (T) qui a j^our

SECTIONS PLANES DU CONE DE RÉVOLUTION 333

sommet I et pour axe l'axe du cône ; les axes transverses des hyperboles d'intersection sont sur les génératrices du cône (T).

Il est clair qu'il faut joindre à ces deux séries celles qu'on en déduit par une symétrie de centre S.

3° La conique donnée est une parabole {fig. 229).

L'axe AL est parallèle à la génératrice SV ; le cercle 0 inscrit dans l'angle USV est tangent à l'axe AL qu'il touche en F et à la génératrice SA en B. Dans le triangle rectangle ABO, on connaît l'angle BAO, qui est le complément du demi-angle au sommetdu cône, et le côté AB == AF ; y on peut donc construire ce triangle. Ce triangle étant construit, on mènera en 0 une perpendiculaire à l'hypoténuse AO , qui

Fi". 229.

rencontre en S le côté AB prolongé ; le cône qui a pour axe SO et pour génératrice SA est coupé par le plan qui a pour trace AL suivant une parabole égale à la parabole donnée. Donc :

On peut toujours placer une parabole donnée sur un cône de révolution donné.

Avec les données de la question, le triangle ABO est déterminé comme forme; il en résulte que le segment SI est déterminé ; l'angle de la droite lA avec la droite SI est égal au demi-angle au sommet du cône. Donc :

Les plans qui coupent un cône de révolution suivant une parabole égale à une parabole donnée coupent l'axe en un même point I ; ils enveloppent un cône (T) ayant pour sommet I et pour axe Vaxe du cône donné; les axes des paraboles d'intersection sont les génératrices du cône (T).

Il est clair qu'il faut joindre à ce groupe de solutions celui, qu'on en déduit par une symétrie de centre S.

334 SECTIONS PLANES DU CONE DE RÉVOLUTION

461. Sections planes d'un cylindre de révolution. — Un cylindre de révolution peut être considéré comme la limite d'un cône de révolution dont le sommet s'éloigne indéfiniment; donc toute section plane de ce cylindre est une ellipse.

C'est ce qu'on montre facilement d'ailleurs par une démonstration directe, analogue à celle qui a été faite pour la section elliptique d'un cône.

Cette méthode directe montre que le petit axe de l'ellipse d'intersection est égal au diamètre du cylindre.

Enfin, on voit facilement que la condition nécessaire et suffisante pour qu'on puisse placer une ellipse donnée sur un cylindre de révolution donné est que le petit axe de l'ellipse soit égal au diamètre du cylindre.

Propriétés projectives.

462. Nous avons vu que toute conique peut être placée sur un cône de révolution ; il en résulte que toute conique peut être considérée comme la projection centrale d'un cercle ; donc, toutes les propriétés du cercle qui se conservent quand on fait une projection centrale appartiennent aux coniques. Nous nous bornerons à énoncer ces propriétés, en indiquant le numéro de cet ouvrage où la propriété correspondante du cercle a été établie.

463. Théorème de Pascal. — Si un hexagone est inscrit dans une conique, les points de rencontre des couples de côtés opposés sont trois points en ligne droite (78).

Théorème de Brianchon. — Si un hexagone est circonscrit à une conique, les trois droites qui joignent les couples de sommets opposés sont concourantes (93).

Le théorème de Pascal subsiste quand deux sommets de l'hexagone viennent se confondre ; le côté qui contient ces deux sommets devient, à la limite^ la tangente à la conique au point où sont réunis les deux sommets; il en est évidemment de même s'il y a plusieurs couples de deux sommets confondus. En particulier, s'il y a trois couples de sommets confondus on a le théorème suivant :

Si un triangle est inscrit dans une conique, les tangentes en chaque sommet rencontrent les côtés opposés en trois points situés en ligne droite.

On peut faire une remarque analogue sur le théorème de Brianchon ; si deux côtés de Fhexagone viennent coïncider, leur point de rencontre est le point de contact de la droite commune avec la conique. En particulier, si l'on fait coïncider les côtés deux à deux, on a le théorème suivant :

Si un triangle est circonscrit à une conique, les droites qui joignent les sommets aux points de contact des côtés opposés concourent en un même point.

464. Le rapport anharmonique des quatre droites qui joignent un point mobile d'une conique à quatre points fixes de cette conique reste fixe quand le point mobile se déplace sur la conique (94).

Ce rapport anharmonique est appelé le rapport anharmonique des quatre points de la conique.

Le rapport anharmonique des quatre points de rencontre d'une tangente mobile avec quatre tangentes fixes reste constant quand la tangente mobile enveloppe la conique (94).

Ce rapport anharmonique est appelé le rapport anharmonique des quatre tangentes à la conique.

Le rapport anharmonique de quatre tangentes d'une conique est égal au rapport anharmonique de leurs points de contact.

Les droites AM, BM qui joignent deux points fixes A et B d'une conique à un point mobile M de cette conique décrivent des faisceaux homo graphiques (95j.

Les points a et b où une tangente mobile [j. à une conique rencontre deux tangentes fixes a. et ^ de cette conique décrivent des divisions homographiques (9^).

465. Théorème. ~ Si un quadrilatère ABCD est inscrit dansune conique (fig. 230)^ une transversale quelconque L rencontre les deux couples de côtés opposés AB, CD et AD,BC et la conique en trois couples de points [a, a'), [b, b'), (c, c'), qui sont en involution.

PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

En effet, les droites qui joignent un point mobile delà conique

aux points B et D décrivent (464) des faisceaux homographiques; les points d'intersection de ces droites avec la droite L décrivent des divisions homographiques. Les points doubles de cette division sont c et c' ; au point au point b' le point a! . Donc (22)

Fie. 230.

a correspond le point h^

[cc'ab] = icc'b'a) = {c'ca'b'),

et par conséquent (28), les trois couples (a, a'), (6, b'), {c, c') sont en involution.

466. Théorème. — Si un quadrilatère ABGD est circonscrit à une conique (fig. 231), et si d'un point 0 de son plan on mène les couples de droites (OA, OC), (OB, OD) et les deux tangentes (OE, OF) à la conique, on obtient trois couples de droites en involution.

En effet, une tangente mobile intercepte sur les deux tangentes

fixes AB et CD (464) des divisions homographiques.

Les droites qui joignent le point - 0 aux points correspondants de ces divisions décrivent des faisceaux homographiques. Les rayons doubles de ce faisceau sont OE, OF ; au rayon OA correspond le rayon OD, et au rayon OB le rayon OC ; donc (48)

(0, EFAD) = (0, EFBG) = (0, FECB),

et par conséquent (51), les trois couples de droites (OE, OF), (OA, OC), (OB, OD) appartiennent à un faisceau en involution.

467. Si par un point P on mène une sécante variable PMM' à une conique^ les droites OM, OM' qui joignent un point fixe 0 de cette conique aux points d'intersection M, M' de la conique avec la sécante sont deux rayons correspondants d'un faisceau en involution (99).

Réciproquement, si par le sommet 0 d'un faisceau en involution on fait passer une conique, la droite MM' qui joint les points d' intersection de deux rayons correspondants avec la conique passe par un point fixe (101).

Si par chaque point d'une droite D on mène les deux tangentes à une conique, les points où ces tangentes rencontrent une tangente fixe sont deux points correspondants d'une division en involution (100).

Réciproquement, si deux divisions en involution sont tracées sur une tangente à une conique, les points de rencontre des tangentes menées à la conique par deux points correspondants décrivent une droite.

468. Théorème. — Si autour d^un point d'une conique on fait tourner un angle droit, la corde qui joint les points d'intersection de la conique avec les côtés de l'angle passe par un point fixe (Théorème de Frégier) .

En effet, les deux côtés de l'angle droit sont des rayons correspondants d'un faisceau en involution.

Le théorème est donc un corollaire de la première réciproque du no 467.

469. Théorème. — Le lieu des conjugués harmoniques d'un point P par rapport aux points d'intersection d'une sécante menée par le point P avec une conique est une droite (80).

Cette droite s'appelle la polaire du point P par rapport à la conique.

Inversement, étant donnée une droite quelconque D, il

PROPRIÉTÉS PROJECTIVES 339

existe un point P dont la polaire par rapport à la conique est la droite D (80). Ce point P est le pôle de la droite D par rapport à la conique.

Si le point P est extérieur à la conique, sa polaire est la corde de contact des tangentes issues du point P àla conique (81).

Si le point P est sur la conique, sa polaire est la tangente à la conique au point P.

470. Théorème I. — Si la polaire d'un point A passe par un point B, inversement la polaire du point B passe le point A (83).

Ces deux points A et B, qui sont tels que la polaire de l'un passe par l'autre, sont dits conjugués par rapport à la conique.

Tbéorème II. — Si le pôle d'une droite a est situé sur une droite |3, inversement le pôle de la droite p est situé sur la droite

Ces deux droites a et j^, qui sont telles que le pôle de chacune d'elles soit situé sur l'autre, sont dites conjuguées par rapport à laconique.

471. Un triangle est conjugué par rapport à une conique lorsque chaque somnaet est le pôle du côté opposé par rapport à la conique.

La construction d'un triangle conjugué par rapport à une conique est identique à celle d'un triangle conjugué par rapport à un cercle (87).

472. Théorème I. — Quand un quadrilatère est inscrit dans une conique, les points de rencontre des côtés opposés et le point de rencontre des diagonales sont les sommets d'un triangle conjugué par rapport à la conique (88).

Théorème II. — Quand un quadrilatère complet est circonscrit à une conique, le triangle qui a pour côtés les trois diagonales de ce quadrilatère est conjugué par rapport à la conique (90).

473. Théorème. — Les couples de points conjugués par rapport à une conique situés sur une même droite L sont des points correspondants d'une division en involution.

Il suffit évidemment de démontrer le théorème dans le cas où la conique est un cercle. Nous distinguerons deux cas :

1° La droite L 'coupe le cercle en deux points A et A' {fig. 232).

Deux points M et M', conjugués par rapport au cercle et situés sur la droite L, sont conjugués harmoniques par rapport au segment AA' ; les couples de points tels que M, M' sont donc des points correspondants d'une division involutive ayant pour points doubles A et A'.

Fig. 232.

Fig. 233.

2° La droite L est extérieure au cercle {fig. 233).

Abaissons du centre 0 du cercle la perpendiculaire OH sur la droite L. Soient 1 le pôle de la droite L, M un point quelconque de cette droite. La polaire du point M passe parle point I et rencontre la droite L en un point M' qui est le conjugué du point M par rapport au cercle.

Les deux triangles semblables OHM et M'HI donnent HM OH

■HT ~ mT'

d'où, en tenant compte des signes des segments, HMxHM' = — HIxHO.

Les points M et M' sont donc des points correspondants d'une division en involution; le point central de cette involution est le point H.

474. Théorème. — Les couples de droites conjuguées par rapport à une conique, issues d'un point quelconque P, sont des couples de rayons correspondants d'un faisceau en involution.

En effet; soient n la polaire du point P par rapport à la conique [fig. 234), M et M' les points oii deux droites conjuguées

PM, PM' coupent cette droite.

Le pôle de la droite PM est situé sur la polaire n du point P ; il est aussi situé sur la droite PM' qui est conjuguée de la droite PM ; il en résulte que le pôle de la droite PM est le point M'. Les points M et M' sont conjugués sur la droite n ; '^" " ' ce sont (473) des points corres-

pondants d'une division en involution tracée sur la droite n; donc PM et PM' sont des rayons correspondants d'un faisceau en involution.

Si le point P est extérieur à la conique, on pourra de ce point mener deux tangentes à la conique. Ces deux tangentes sont les rayons doubles du faisceau en involution .

Centre et diamètres.

475. Un point 0 est centre d'une courbe si le symétrique d'un point quelconque de la courbe par rapport au point 0 est situé sur la courbe [745].

Fig. 235.

Si un point 0 est centre d'une conique, toute sécante à la

conique menée par le point 0 aura son milieu en ce point ; le conjugué harmonique du point 0 par rapport aux deux points d'intersection de cette sécante avec la conique est rejeté à l'infini. Il en résulte que la polaire du point 0 par rapport à la conique est la droite à l'infini du plan de la conique.

Gela posé, supposons la conique placée sur un cône de révolution de sommet S {fig. 235) ; soit G un plan de section circulaire du cône ; le plan mené par S parallèlement au plan P de la conique coupe le plan du cercle G suivant une droite rf, soit o le pôle de la droite d par rapport au cercle. Si l'on projette coniquement les points du plan du cercle sur le plan P, la projection D de la droite d est rejetée à l'infini, la projection 0 du point o sera Je pôle de la droite à l'infini par rapport à la conique.

Si la conique donnée est une ellipse^ la droite d est extérieure au cercle, le point o est intérieur au cercle, et le centre 0 sera intérieur à l'ellipse.

Si la conique est une hyperbole, la droite d coupe le cercle, le point 0 est extérieur au cercle, et le centre 0 sera extérieur à l'hyperbole.

Si la conique est une parabole, la droite d est tangente au cercle, le point o est sur la droite d, sa projection 0 est rejetée à l'infini dans la direction de l'axe de la parabole.

476. Asymptotes. — Prenons le cas d'une section hyperbolique, la droite d rencontre le cercle en deux points e et e' ; les tangentes au cercle en ces points sont les droites eo, e'o {/îg.'i36).

Supposons qu'un point m se rapproche indéfiniment du point e, sa projection M s'éloigne indéfiniment dans la direction de la génératrice Se ; le point M décrit une branche infinie de courbe. La tangente tint' au cercle se projette suivant la tangente en M à l'hyperbole ; donc, quand le point M s'éloigne indéfiniment, la tangente en ce point a pour position limite la projection de la tangente oe. Les asymptotes de l'hyperbole sont les projections coniques des tangentes oe et oe' ; elles passent par le centre 0 et sont parallèles aux génératrices Se, Se'.

Fig. 236.

Fig, 237.

On peut encore dire que les asymptotes sont les droites suivant lesquelles le plan P de la conique coupe les plans tangents au cône suivant les génératrices Se, Se'.

Quand le point ?« se déplace sur le cercle, les points t et t' où la tangente en m rencontre les tangentes oe, oe' décrivent des divisions homographiques; donc quand le point M se déplace sur l'hyperbole, les points T et T' où la tangente en M rencontre les asymptotes décrivent des divisions homographiques {fig. 237).

Si donc nous désignons la longueur OT par x, O'T' par x', on aura une relation de la forme,

Axx' -+- Ba- -h Ca;' + D = 0.

Remarquons maintenant que si le point T vient en 0, T' s'éloigne indéfiniment; donc pour x = 0, on doit avoir x' = oo.

ce qui montre que le coefficient G doit être nul. De même; si le point T' vient en 0, T s'éloigne indéfiniment; pour x' — 0, on doit avoir a; = oo , et le coefficient B est nul. 11 en résulte que le produit OTxOT' est constant; pour avoir la valeur de la constante, il suffit de placer le point M au sommet de l'axe transverse : dans ce cas OT = OT' = c. Donc on a constamment

OTxOT' = c^

477. Réciproquement, si sur deux droites Oa?, Oy{fig. 237) on prend deux points T et T' tels que

OT X OT' = c\ les droites TT' sont tangentes à une hyperbole ayant pour asymptotes 0-r et Oy.

Prenons sur les droites Ox et Qy des longueurs OD, OD' égales à c ; soit A le milieu de la droite DD'. Considérons l'hyperbole H qui a pour centre 0, pour sommet A et pour distance focale 2c ; cette hyperbole aura pour asymptotes Ox et Qy (433); je dis que chacune des droites TT' est tangente à cette hyperbole. En effet, par le point T pris sur l'asymptote je puis mener une tangente à l'hyperbole H; soit T" le point où cette tangente rencontre l'asymptote Oj/ ; d'après le théorème direct, on aura

OT X OT" = c2 ; donc le point T" coïncide avec T', et par suite la droite TT' est tangente à l'hyperbole H.

478. On appelle diamètre d'une courbe le lieu des milieux des cordes parallèles à une direction donnée. Toutes les droites du plan de la conique, parallèles à une direction donnée, passent par un même point I, rejeté à l'infini ; le milieu d'une corde parallèle à cette direction est conjugué harmonique du point I par rapport aux deux points où la corde coupe la conique ; le lieu des milieux est donc la polaire du point I ; soit J cette polaire.

Le point I étant situé sur la droite à l'infini D du plan de la conique, sa polaire passe par le pôle 0 de la droite D. Donc :

Dans V ellipse et dans l'hyperbole, tout diamètre est une droite passant par le centre.

Dans la parabole, tout diamètre est parallèle à l'axe.

Réciproquement, si une droite passe par le centre 0, son pôle est situé sur îa droite D. Donc :

Toute droite passant par le centre d'une ellipse ou d'une hyperbole est un diamètre de la courbe.

Toute parallèle à l'axe d'une paraboU est un diamètre de cette courbe.

Soit P un point de la droite J; la polaire du point P doit passer par le pôle I de la droite J. Donc :

La polaire d'un point quelconque P par rapport à une conique est parallèle aux cordes qui sont partagées en parties égales j^ar le diamètre passant par le point P.

En particulier :

La tangente en un point d'une conique est parallèle aux cordes partagées en parties égales par le diamètre qui passe par ce point.

Si d'un point P on mène des tangentes PM, PN à une conique, la droite qui joint le point P au milieu de la corde MN est le diamètre des cordes parallèles à la coide MN.

479. Diamèires conjugués. — Soient I un point de la droite à l'infini D du plan de la conique, J sa polaire, V le point où la polaire J rencontre la droite D. Dans le cas de la parabole, le point r coïncide constamment av^ec le point 0 ; nous laisserons ce cas de côté. Les points I et 1' sont conjugués ; la polaire du point r est la droite 01 ; le lieu des milieux des cordes parallèles à la droite 01 est le diamètre 01'; de même, le lieu des milieux des cordes parallèles à la droite OF sera le diamètre 01.

Ces deux diamètres 01, 01', qui sont tels que chacun d'eux partage en parties égales les cordes parallèles à l'autre, sont appelés diamètres conjugués.

Les points i et F sont les projections de deux points conjugués i et i' situés sur la droite d {fig. 238 et 239). Les diamè-

très conjugués 01, 01' sont les projections des droites oi, oi' qui sont conjuguées par rapport au cercle.

Les droites oi, oi' sont des rayons correspondants d'un faisceau en involution ; les rayons doubles sont les tangentes oe, oe' (7?^. 238). Donc:

DeMX diamètres conjugués "par rapport à une conique sont des rayons correspondants d'un faisceau en involution ' les rayons doubles sont les asymptotes de la conique.

Fig. 238.

On peut remarquer que dans le cas de la section elliptique (fig. 239), les droites oi, oi' rencontrent le cercle; les deux diamètres conjugués couperont tous deux l'ellipse, ce qui était d'ailleurs bien évident.

Dans le cas de l'hyperbole (fig. 238), si le point i est extérieur au cercle, le point i' sera à l'intérieur, et inversement; la droite oi ne coupe pas le cercle, la droite oi' le coupe. Donc, de deux diamètres conjugués par rapport à une hyperbole, l'un d'eux rencontre la courbe en deux points, on l'appelle le diamètre transverse ; l'autre ne rencontre pas la courbe, c'est le diamètre non transverse.

480. Diamètres conjugués par rapport à une ellipse. — Toute ellipse peut être considérée comme la projection orthogonale d'un cercle : dans une telle projection, des droites parallèles se projettent suivant des droites parallèles et inversement ; le milieu d'un segment se projette au milieu de la projection du

CENTRE ET DIAMETRES

segment. Il en résulte que deux diamètres conjugués de l'ellipse sont la projection de deux diamètres conjugués du cercle; or, dans le cercle, deux diamètres conjugués sont rectangulaires. Donc :

Si on considère le cercle qui se projette orlhogonalement suivant une ellipse donnée, deux diamètres conjugués de l'ellipse sont la projection de deux diamètres rectangulaires du cercle.

Soient alors OM, OM' deux demi-diamètres rectangulaires du

cercle (fig. 240), Om, Om' leurs projections. Quand les rayons rectangulaires OM, OM' tournent autour du point 0, l'aire du parallélogramme qui a pour côtés OM, OM' reste constante; la projection de cette aire restera aussi constante. Donc :

L'aire du parallélogramme qui a pour côtés deux demidiamètres conjugués Om, Om' est constante.

Fig. 240.

On a aussi

Um = OP"

Vm = OP H- -^ PM ,

Om'' = OP'' -4- P'm'' = OP'' + — P'M''.

Mais les deux triangles OPM et M'P'O étant égaux, on a