P'M' := OP, OP' = PM
donc
Om
+ 0m'' = OpYih ^y
PM ( l
PM') = a2 + b'
11 en résulte que si l'on désigne par a et b' les longueurs de
S'iS PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES CONIQUES
deux demi-diamètres conjugués, par 6 l'angle de ces diamètres, par a et b les demi-axes d'une ellipse, on aura
a'b' sin 0 = ab,
(Théorèmes d'ApoLLONius.)
481. Problème. — Etant donnés en grandeur et en direction deux diamètres conjugués d'une ellipse^ construire les axes.
La construction repose sur les remarques suivantes :
1° Soient m un point quelconque de Fellipse, M le point
correspondant du cercle principal {fig. 240). Si par le point m
on mène une parallèle au rayon OM, cette parallèle rencontre
le grand axe en a et le petit axe en p. On a évidemment
m^ = OM = a ; on a ensuite
ma Vin b
ÔF ^ PM ^ T'
d'oïl
ma = b.
11 en rjésulte que si le point m se déplace sur l'ellipse, la longueur pa reste constamment égale à a — b.
2° Soient Om' le demi-diamètre conjugué de Om, M' le point du cercle principal qui correspond au point m'. Menons par le point m' la parallèle au rayon OM', cette parallèle rencontre le grand axe en a' et le petit axe en [3'. On a encore
Les deux droites m%^ et m'a'P' sont perpendiculaires ; les deux triangles rectangles Oa[i et Ojâ'a' sont égaux comme ayant même hypoténuse et les angles Oa^ et OP'a' égaux comme ayant leurs côtés perpendiculaires.
Gela posé, construisons le rectangle Oaip qui a pour côtés Oa et OP; les deux triangles m^I et m'P'O sont égaux, car mp = m!^ = a, pi := p'O et w^= m^; donc ml = m'O et pml = p'm'O, et par suite m\ est perpendiculaire à m'O.
CENTRE ET DIAMETRES
De là la construction suivante :
Par rextrémité m de l'un des diamètres, on mène une perpendiculaire à l'autre Om' (fig.
241) ; sur cette perpendiculaire on prend une longueur ml égale à Om' ; on joint le point m au milieu G de la droite 01 ; à partir du point G on prend sur Cm des longueurs Ca, Cp égales à GO. Les axes de l'ellipse sont dirigés suivant les droites Oa, 0^ et les longueurs des demi-axes correspondants sont mp et ma.
En reprenant les raisonnements en sens inverse, on voit que l'ellipse qui a les axes ainsi déterminés admet pour diamètres conjugués Om et Om'.
Fig. 241.
