Diamètres conjugués par rapport à une hyperbole

Soient Ox, Oy les deux asymptotes d'une hyperbole (^(/. 242), CI, 01' deux diamètres conjugués. Les deux droites 01, 01' forment (479) un faisceau harmonique avec les deux asymptotes, ce qui nous donne d'abord le résultat suivant :

Si deux hyperboles ont les mêmes asymptotes, tout système de deux diamètres conjugués par rapport à l'une d'elles forme un système de deux diamètres conjugués par rapport à l'autre.

Menons maintenant une sécante à l'hyperbole, parallèle à la droite 01' ; soient M et M' les points où cette sécante rencontre les asymptotes, N et N' les points où elle rencontre l'hyperbole. Le milieu du segment MM' est sur la droite 01, puisque le faisceau (0, \.\^xy) est harmonique ; le milieu du segment NN' est aussi sur la droite 01, puisque cette droite est le diamètre des cordes parallèles à 01'; les deux segments MM' et NN' ont donc même milieu H. Il en résulte que