Longueur d'un diamètre non transverse. — Par un
point quelconque G de l'hyperbole, menons la tangente qui
rencontre les asymptotes en D et D' {fig. 242); par le point D menons une tangente DC'D" à l'hyperbole conjuguée: elle rencontre la seconde asymptote en un point D" et l'on a
ODxOD' = ODxOD" = c^
Donc OD" = OD'; la tangente DD" touche l'hyperbole conjuguée en son milieu C, et par conséquent OC est parallèle à CD ; donc la droite OC est le diamètre conjugué de OC.
OC est par définition la longueur du demi-diamètre non transverse conjugué au diamètre OC. La longueur du diamètre non transverse est égale à la portion DD' de la tangente parallèle, comprise entre les asymptotes.
On voit que le parallélogramme construit sur deux demi-diamètres conjugués OC, OC a pour diagonale une asymptote.
484. Théorèmes d'Apollooius. — Le produit ODxOD' {fig. 242) étant constant, l'aire du triangle DOD' reste invariable quand la tangente roule sur l'hyperbole ; il en est de même de l'aire du parallélogramme OCDC. Donc :
L'aire du parallélogramme qui a pour côtés deux demidiamètres conjugués de l'hyperbole reste constante.
Si l'on désigne par a' et b' les longueurs des demi-diamètres conjugués OC, OC, par 0 leur angle, par a et è les demi-axes de l'hyperbole, on aura donc
(1) a'b' sin 6 = ah.
D'autre part, on a
ÔD^ = a'2 4- é'2 + ^a'b' cos G,
OD'^ = a'2 H- é'2 9a'b' cos 6, et par conséquent
ÔD' X ÔD'' = (a' -h ^by — 4a'2^'2 cos^ 0 = {a'''- 6'^)2 4- 4a'26'2 sin2 e.
Dans cette égalité; le premier membre reste fixe, ainsi que a'b' sin 0 ; donc a'^ — b'" demeure constant. On a donc
(2) a-'- — b'^ = a^ — b\ C'est le second théorème d'Apollonius.
Si a— h, on aura constamment a' = b' ; dans ce cas les asymptotes sont rectangulaires, l'hyperbole est dite équilalère.
483. Pi'oblème. — Construire les axes d'une hijperbole connaissant deux diamètres conjugués en grandeur et en direction.
Soient OC le diamètre transverse, OC le diamètre conjugué de OC {fig. 243) ; par le point G je mène la parallèle à la droite OC' sur laquelle je prends CD = CD' = OC' ; les droites OD, OD' seront les asymptotes de l'hyperbole (483).
Prenons la moyenne proportionnelle entre OD et OD', et sur les droites OD et OD' prenons des longueurs OE, OE' égales à cette moyenne proportionnelle; abaissons de 0 la perpendiculaire OA sur EE' : OA sera le demi-axe transverse de l'hyperbole, AE le demi-axe non transverse.
Fig. 243.
486. Propriété des diamètres. Lemme. — Si deux couples de points (A, A'), (P, P') {fig.'^iA) divisent harmoniquement le segment 11', on a
