IF

PA X PA'

(1) IP'' P'AxP'A'

En effet, prenons comme origine le point I; désignons par / l'abscisse du point I', par a?, x' celles des points A, A' et par

Fig. 244.

y, y' celles des points P, P'. En écrivant que les couples de points (A, A') et (P, P') divisent harmoniquement le segment il', on a les deux relations

( 2xx' = 1{X -hx),

l '^yy' = Hy-+-y')-

D'autre part, la relation (1) est équivalente à la suivante :

y'^ (x — y) (x' — y) xx' — y{x-+- x') -+- y'^

y'2 ~ [x- ij') {x' — y) ~ xx' - y' {x-hx') + î/'2 '

xx' (î/2 y'2) (a^ -i- x')(yhj' — yy'^) = 0 ; et après avoir divisé par y — y', on trouve

xx' {y -+- 1/') — (a? + x')yy' = 0, ce qui est bien une conséquence des équations (2).

487. Théorème. — Si un diamètre d'une ellipse ou d'une hyperbole rencontre la courbe en deux points A et A' (fig. 245

Fig. 245.

Fig. 246.

et 246) et si MM' est une corde ayant son milieu en P sur le diamètre, le rapport

pI'

PA X PA'

reste fixe quand la corde MM' se déplace parallèlement à ellemême.

En effet, soient MM' et NN' deux cordes parallèles dont les milieux P et Q sont sur le diamètre AA'. Le point de rencontre I des cordes MN et M'N', le point de rencontre I' des cordes MN' et NxM', et le point à Tinfini sur la corde MM' sont les trois

GUICHARD- — TRAITE DE GEOM. Il

sommets (472) d'un triangle conjugué par rapport à la conique; les points I et I' sont donc situés sur la polaire du point à l'infini sur la corde MM', c'est-à-dire sur le diamètre AA' ; de plus, les points I et 1' sont conjugués par rapport aux points A et A'.

D'après les propriétés du quadrilatère complet, les points P et Q sont aussi conjugués par rapport aux points I et I', et en appliquant le lemme qui précède on aura donc

Mais

donc

ou bien

PI PA X PÂ'

Qî^ ~ QAxQA'

Pi' Pi'

QÎ' ~ un' '

Pm' PA X PA'

qn' QAxQA''

pm' qn^

PAxPA' ~ QAxQA''

, . , , Pi' bien que le rapport

- conserve une

PA.PA'

valeur constante k quand la corde MM' se déplace parallèlement à elle-même.

Il est facile d'avoir la valeur de la constante k; désignons par a' le demi-diamètre OA' et par b' le demi-diamètre conjugué OB'.

Plaçons-nous d'abord dans le cas de l'ellipse et plaçons le point P au centre 0 . On aura

PM = 6', PA = a', PA' = ~a'.

Le rapport k a pour valeur

a'2 Plaçons-nous maintenant dans le cas de l'hyperbole. On a

pm' PM' PÔ'

PAxPA' Yo' PAxPA'

CENTRE ET DIAMETRES

Quand le point P s'éloigne indéfiniment sur le diamètre, le PÔ*

rapport

PA X PA

a pour limite 1 ; donc

k = lim.