PM PÔ

D'ailleurs, dans cette hypothèse la droite OM a pour position limite l'asymptote OD (fig. 246) ; donc

PM AD b'

lim.

et par conséquent

PO

AO

On voit que k est positif dans le cas de l'hyperbole et négatif dans le cas de l'ellipse.

488. Réciproque. — Si par chaque point P d'une droite AA' [fig. 247) on mène une parallèle à une direction fixe et si Von

Fig. 247.

porte sur cette parallèle des longueurs PM = PM' telles que

PA.PA' ~ ' les points M et M' décrivent une ellipse ou une hyperbole.

En effet, par le milieu 0 de la droite AA', menons une

parallèle à la direction fixe et prenons sur cette parallèle des longueurs OB = OB' = b' telles que

a' représentant la longueur OA ; on prendra le signe -t- ou le

signe — suivant que k est positif ou négatif.

Considérons alors l'hyperbole (A:>0) ou l'ellipse (A;-<0)

qui admet les diamètres conjugués AA', BB'; la droite PMM',

parallèle au diamètre BOB', coupe cette courbe en deux points

N et N' tels que (487)