Diamètres d'une parabole. — Soit I un point quelconque

du plan [fig. 248). Menons le diamètre lAa? qui passe par ce point et soit PMM' la polaire du point I. Cette polaire est parallèle aux cordes partagées en deux parties égales par le diamètre ; le point P où cette polaire rencontre le diamètre est conjugué du point I par rapport à la parabole; or la droite IP rencontre la parabole en A et en un autre point rejeté à l'infini ; donc A sera le milieu de IP ; donc :

Si far un 'point quelconque I on mène les tangentes IM, IM' à une parabole^ la droite qui joint le point I au milieu P de la corde de contact MM' est un diamètre et cette droite IP est coupée en son milieu par la parabole.

490. Lemme. — Si deux points P et P' divisent harmoniquement le segment H' et si A est le milieu de II', on a

ÏP' AP ^^^ [p/-* ~ AP' '

P P' Prenons le point I

] ^ [' comme origine (y^gf. 249)

Fig. 249. et soient /, x, x' les abs-

cisses des points F, P, P'.

Les points P et P' divisant harmoniquement le segment II', on aura

(2) 'ixx' — l{x + x')=:Q.

D'ailleurs la relation (1) est équivalente à la suivante :

après division par x — x', il reste

xx' — —. (x-\- x') = ùi

ce qui est la relation (2).

491, Théorème. — Si far un point quelconque P d'un diamètre kx d'une parabole (fig, 230) on mène la corde PMM' qui a son milieu en P, le rapport

pm' TF

reste constant quand P se déplace sur le diamètre.

Considérons deux cordes PMM', QNN' ayant leurs milieux P, Q sur le diamètre Ax. Le point de rencontre I des cordes MN et M'N' et le point de rencontre I' des cordes MN' et NM' sont

sur le diamètre kx (487); ces points sont conjugués par rapport à la parabole, donc A est le milieu du segment II' ; les points

Fig. 250.

P et Q sont aussi conjugués par rapport au segment II' ; donc, d'après le lemme qui précède, on aura

Mais

donc

pm'