AP

{fig. 252); menons par

le point P la parallèle à la tangente, elle coupe la parabole en deux points M et M' tels que

PM' = 2p'xAP = /3'2.

Fig. 252. On a donc FM = PM' = p' .

Soit I le point de rencontre des tangentes en M et M' : on a Pf = 2PA = p', et puisque PI = PM = PM', l'angle MIM' est droit; donc le point 1 appartient à la directrice. De là la construction suivante :

p' On prend sur le diamètre une longueur AI = -^ j la direc-

triceest la perpendiculaire menée en I au diamètre; pour avoir le foyer, on prend le symétrique du point I par rapport à la tangente en A, ce qui donne un point F situé suria droite MM'.

494. Théorème. — Si par chaque point P d'une droite kx on mène une parallèle à une direction fixe et si l'on prend sur cette parallèle des longueurs égales PM, PM', telles que

m' = ip'xkP,

les points M et W décrivent une parabole.

En effet, les points M et M' appartiennent à la parabole qui a pour diamètre kx, pour paramètre correspondant p' et pour tangente en A une droite parallèle à la direction donnée.