SECTIONS PLANÉS D UN CONE CIRCULAIRE
Sections planes d'un cône circulaire.
495. Théorème. — Toute section plane d'un cône dont la base est un cercle est une conique.
Le plan P de la section coupe le plan du cercle de base suivant une droite L. Menons le diamètre BB' du cercle qui est perpendiculaire à la droite L ; le plan de la section coupe le plan SBB' suivant une droite A, Gela posé, nous distinguerons deux cas :
1° La droite A rencontre les génératrices SB, SB' en A et A' ifig. 253).
Menons un plan n parallèle au plan de base ; soit bb' la trace de ce plan sur le plan SBB'. Le plan u coupera le cône suivant un cercle de diamètre bb' ; soit Q le point de rencontre des droites bb' et AA'. Les plans P et U se coupent suivant une droite passant par le point Q et parallèle à la droite L ; cette droite est donc perpendiculaire à bb' ; cette droite rencontre le cône en deux points M et M' qui appartiennent à la fois à la section et au cercle de diamètre bb' ; la droite MM' étant perpendiculaire à la droite bb', on aura
QM = QM' et QM' = — QèxQé'.
Mais quand le point Q se déplace sur la droite AA', le rapport
Q6xQ6'
QAxQA'
Fig. 253.
reste fixe parce que bb' reste parallèle à BB' ; donc, dans le plan P, la droite QMM' se déplace parallèlement à la droite L, et Ton a
QM = QM',
const.
QAxQA'
Par conséquent (488), les points M et M' décrivent une conique,
2° La droite A est parallèle à l'une des génératrices SB, SB' ; supposons par exemple A parallèle à SB' et rencontrant SB en A {fig.
Coupons encore le cône par un plan D parallèle au plan de base, et soient bb' la trace de ce plan sur le plan SBB', Q l'intersection des droites bb' et A; les plans n et P se coupent suivant une droite parallèle à la droite L et passant par Q; cette droite rencontre le cône en deux
points M et M', et on a encore
QM = QM', Qb
QM =-QbxQb'.
Le rapport -:-— reste constant quand le point Q se déplace sur
la droite a, ainsi que Qb' ; donc
QM"
QA
= const.,
et, par conséquent (494), les points M et M' décrivent une parabole qui a pour diamètre A.
Génération des coniques.
496. Nous avons vu (464) que si P et Q sont deux points fixes d'une conique, M un point variable, les rayons PM et QM
GÉNÉRATION DES CONIQUES
décrivent des faisceaux homographiques. Nous allons démontrer que, réciproquement :
Le lieu des points d'intersection des rayons homologues de deux faisceaux homographiques est une conique.
En effet, soient P et Q {fig. 2S5) les centres des faisceaux, Px le rayon du faisceau P qui correspond au rayon QP du faisceau Q, Qî/ le rayon du faisceau Q qui correspond au rayon PQ du
faisceau P, 0 le point de rencontre des rayons Vx et Qy. Par le point 0 menons une droite quelconque Oz; menons le cercle G tangent à Oa? en P et tangent à Oz en R.
Soient alors PM, QM deux rayons homologues rencontrant respectivement les droites Oy et Qx en a et a' ; le rayon Ra' rencontre le cercle G en m et le rayon Vm rencontre Oz en a".
Les rayons PM et QM décrivant des faisceaux homographiques, les points a et a' décriront des divisions homographiques; de même les rayons Rm et Pm décrivent des faisceaux homographiques, donc a' et a" décrivent des divisions homographiques.
Il en résulte que les divisions décrites par a et a" sont homo-
graphiques. Si le point a' vient en 0, le point a vient en Q et le point rt" en R; donc Q et R sont deux points correspondants des divisions homographiques décrites par a et a". Si le point a' vient en P, le point a vient en 0, le point a" vient aussi en 0. Le point 0 étant son propre correspondant dans les divisions décrites par a et a", la droite aa" passe (59) par un point fixe S, situé sur la droite QR.
Cela posé, si on fait une projection centrale en prenant comme centre le point S, les droites Va!' et Ra' se projetteront suivant Va et Qa' ; le point M est donc la projection du point m du cercle. Le lieu de M étant la projection centrale d'un cercle, est une conique (495).
La conique passe par les centres P et Q des faisceaux ; les tangentes Vx, Qy en ces points sont les droites qui correspondent respectivement aux rayons QP, PQ des faisceaux Q et P.
497. Nous avons vu (464) que les points de rencontre d'une tangente mobile et de deux tangentes fixes d'une conique décrivent des divisions homographiques. Nous allons démontrer que, réciproquement:
Les droites qui joignent les points correspondants de deux divisions homographiques enveloppent une conique.
En effet, soient Ox, Oy {fig. 256) les deux bases des divisions, P le point de Ox qui correspond au point 0 de Oy, Q le point de Oy qui correspond au point 0 de Ox. Menons une droite quelconque Oz, prenons sur cette droite OR = OP et traçons le cercle G qui touche les droites Ox et Oz en P et R.
Soient m et m' deux points correspondants des divisions tracées sur Ox et Oy ; par le point m menons une tangente au cercle G ; cette tangente rencontre Oz en m" ; les points m et m" décrivent des divisions homographiques. 11 en résulte que les divisions décrites par m' et m" sont homographiques.
Gela posé, si 7n vient en 0, m' vient en Q et m" en R ; les points Q et R sont donc des points correspondants des divisions décrites par m' et m". Si le point m vient en P, les points m'
GÉNÉRATION DES CONIQUES 365
et m" viennent en 0. Dans les divisions homographiques tracées sur Oij et Oz, le point 0 est à lui-même son homologue ; par conséquent (59) la droite m'm" passe par un point fixe S; situé sur la droite QR.
Si on prend pour centre de projection le point S, pour plan de projection le plan xOy, la droite mm" se projette suivant la droite mm' ; donc l'enveloppe de la droite mm' est la projection du cercle C; cette enveloppe est donc une conique (495).
Cette conique est tangente aux bases Oa?, Oy aux points P et Q qui sont les correspondants du point 0 dans les deux divisions.
