Figures polaires réciproques par rapport à une conique

— La définition de deux figures polaires réciproques par rapport à une conique est la même que celle de deux figures polaires réciproques par rapport à un cercle (91).

A des points situés en ligne droite correspondront des droites issues d'un même point ; le rapport anharmonique de quatre points de la droite est égal au rapport anharmonique des quatre droites qui leur correspondent, et inversement.

Si deux points m et m' décrivent des divisions liomographiques, les droites qui leur correspondent décrivent des faisceaux homographiques, et inversement.

499. Théorème. — La figure polaire réciproque d'une conique G par rapport à une autre conique S est une conique^

En effet, prenons sur la conique G {fig. 257) deux points fixes P et Q; soient M un point variable de cette conique, jo, q^ m les polaires des points P, Q, M par rapport à S, a et a'

Fig. 257.

les points où la droite m rencontre les droites p etq ; ces points a et a' sont respectivement les pôles des droites PM et QM par rapport à la conique S. Les rayons PM et QM décrivent des faisceaux homographiques, donc (498) a et a' décrivent des divisions homographiques. Par conséquent la droite m enveloppe (497) une conique; cette conique est la polaire réciproque de la conique G par rapport à la conique S.

500. Remarque. — La considération des figures polaires réciproques permet de déduire de tout théorème sur des points en ligne droite, un théorème sur des droites passant par un même point ; — de tout théorème relatif à des points situés sur une même conique, un théorème relatif à des droites tangentes à une même conique. Les deux théorèmes qui se déduisent ainsi l'un de l'autre par cette méthode sont dits corrélatifs.

501. Théorème I. — Cinq points A, B, G, D, E déterminent une conique.

GÉNÉRATION DES CONIQUES

En effet, on pourra déterminer deux faisceaux homographiques ayant pour centres A et B et tels qu'aux rayons AC, AD, AE correspondent (48) les rayons BC, BD, BE. Les points d'intersection des rayons homologues de ces deux faisceaux décrivent une conique qui passe par les cinq points A, B, C, D, E.

Théorème II . — Une conique est déterminée quand on en connaît cinq tangentes.

Ce théorème est le corrélatif du précédent ; on le démontre d'ailleurs d'une façon analogue.

502. Théorème I. — Si l'on considère toutes les coniques passant par quatre points, chacune d'elles coupe une droite quelconque

^ en deux points, qui sont des points correspondants d'une division en involution.

En effet, soient A, B, C, D {fig. 258) les quatre points, a, a les points d'intersection de la droite a avec les droites AB et CD, b, b' ceux de a avec AD et BG, m et m' les points où une conique quelconque circonscrite au quadrilatère ABGD coupe la droite a. Les trois couples de points (a, a'), (6, 6'), (m, m') sont trois couples de points correspondants d'une division en involution (465) ; donc m et m' sont des points corraspondants de l'involution déterminée par les deux couples de points (a, a') et (6, b').

Si les points m et m' sont confondus, le point de réunion I est un point double de l'involution ; la conique correspondante est tangente à la droite A, Donc :

// existe deux coniques passant par quatre points et tangentes à une droite A ; les deux points de contact sont les points doubles

Fig. 258.

de Vinvolulion déterminée sur A par les points où chaque conique passant par les quatre points coupe la droite ^.

Théorème II. — Si l'on considère toutes les coniques tangentes à quatre droites, les tangentes menées d'un point quelconque P à chacune d'elles sont des rayons correspondants d'un faisceau en involution.

Ce théorème est le corrélatif du précédent ; il se démontre d'une façon analogue.

Les deux rayons doubles du faisceau en involution sont les tangentes aux deux coniques passant par le point P et tangentes aux quatre droites données.

503. Problème I. — Une conique étant définie comme le lieu des points d'intersection de deux rayons homologues de deux faisceaux homo graphiques , trouver les points où, elle coupe une droite donnée A [fig. 259).

Deux rayons correspondants PM et QM des faisceaux homographiques coupent la droite a en deux points a et a' qui décrivent sur la droite a des divisions homographiques ; pour

que le point M de la conique vienne sur A, il faut et il suffit que les points correspondants a et a' soient confondus. Le problème revient donc à trouver les points doubles de deux divisions homographiques de même base.

Supposons la droite a rejetée à l'infini; les points d'intersection de la droite a avec la conique sont situés sur les asymptotes ; donc :

Pour trouver les directions asymptotiques de la conique, on cherche les rayons des faisceaux qui sont parallèles à leurs homologues.

Il suffit pour cela de transporter le faisceau Q parallèlement

Fig. 259.

à lui-même en P et de chercher les rayons communs à ce nouveau faisceau et au faisceau P.

Problème II. — Une conique étant définie comme renvcloppe des droites qui joignent les points correspondants de deux divisions homographiquc , trouver les tangentes à cette conique issurs d'un point dominé P.

Ce problème est le corrélatifdu précédent ; on le résout de la même façon; on ramène la question à trouver les rayons doubles de deux faisceaux homographiques ayant pour sommet le point P.

EXERCICES (1- Série).

1. Étant donnés deux points fixes F et F' et une droite D, étudier la variation de la différence MF — MF' quand le point M décrit la droite D.

2. Étant donnes une hyperbole et un point P de son plan, en considère toutes les demi-droites issues du point P. Indiquer, pour chaque position de la demi-droite, le nombre des points d'intersection avec l'hyperbole; indiquer aussi à quelle branche appartiennent les points d'intersection.

3. Si A et A' sont deux points pris sur une même branche de l'hyperbole, tous les points du segment AA' sont intérieurs à l'hyperbole ; tous les autres points de la droite AA' sont extérieurs. Qu'arrive-t-il si A et A' n'appartiennent pas à la même branche?

4. Lieu des sommets des angles droits circonscrits à une hyperbole.

Construire une hyperbole connaissant :