La directrice relative à un foyer F est
1° La polaire de ce foyer par rapport au cercle principal ;
2° L'axe radical de ce foyer et du cercle directeur qui a pour centre l'autre foyer.
22. On considère tous les triangles ABC inscrits dans un cercle donné et tels que leur point de concours des hauteurs soit un point donné H. Enveloppe des côtés de ces triangles.
23. On considère toutes les cordes AB d'un cercle qui sont vues d'un point fixe I sous un angle droit; enveloppe de ces cordes.
24. En remarquant que l'ellipse est la projection orthogonale d'un cercle, on demande d'effectuer les constructions suivantes sur une ellipse dont on donne les axes :
1° Trouver les points d'intersection d'une droite et d'une ellipse; 2° Mener d'un point des tangentes à l'ellipse.
25. Lieu des milieux des sécantes à une ellipse issues d'un point.
26. Soient AA' un diamètre d'une ellipse et M un point quelconque de l'ellipse. Démontrer que les droites MA, MA' sont parallèles à deux diamètres conjugués de l'ellipse. — Réciproque.
27. Soient OA' et OB' deux demi-diamètres conjugués d'une ellipse. Trouver : 1° le lieu du milieu de la corde A'B' ; 2° l'enveloppe de cette corde; 3° le lieu du point de rencontre des tangentes en A' et B' quand les droites OA', OB' tournent autour du point 0.
28. On considère tous les triangles inscrits dans une ellipse et ayant leurs centres de gravité au centre de l'ellipse. Lieu des milieux des côtés de ces triangles.
29. On considère toutes les cordes MN d'une ellipse, telles que les droites IM, IN issues d'un point fixe I soient parallèles à deux diamètres conjugués de l'ellipse. Lieu du milieu et enveloppe de la corde MN.
30. Lieu des foyers de toutes les paraboles tracées sur un cône de révolution donné.
31. Étant donné un cône de révolution, couper ce cône par un plan tel que la section soit une parabole et que la directrice de cette parabole passe par un point donné.
32. Mener par un point un plan coupant un cône de révolution suivant une conique égale à une conique donnée.
33. Mener par une droite un plan coupant un cône de révolution suivant une conique semblable à une conique donnée. (Deux coniques sont semblables quand le rapport — de leurs axes est le môme).
34. Quelle doit être la grandeur de l'angle au sommet d'un cône de révolution pour que ce cône admette trois génératrices formant un trièdre trircctangle?
35. Couper le cône de l'exercice précédent par un plan tel que la section soit une hyperbole équilatère dont Taxe non transverse passe par un point donné.
36. Soient Ox, Oy les axes d'une conique, M un point de la courbe, T et T' les points oii la tangente en M rencontre les droites Ox et Oy, N et N' les points où l'a normale en M rencontre les mêmes droites. Démontrer que les produits
ONxOT et ON'xOr
restent fixes quand le point M décrit la conique. Ces produits ne changent pas si l'on remplace la conique par une autre ayant les mêmes foyers.
37. Quelle est la propriété de la parabole qui correspond à celle de l'exercice précédent?
38. On considère toutes les coniques qui ont les mêmes foyers ; par un point P situé sur un de leurs axes on mène des tangentes à ces coniques. Lieu des points de contact.
39. On considère toutes les coniques dont l'un des axes est une droite donnée^ qui passent par un point donné et admettent en ce' point une tangente donnée. Lieu des foyers de ces coniques.
40. Étant données une ellipse et deux droites a et p, par un point quelconque P du plan on mène des parallèles à a et à [5; la première rencontre l'ellipse en M et M', la seconde en N et N'.
Démontrer que la rapport
PMXPM'
PN X PN' est indépendant de la position du point P.
41. Construire les deux diamètres conjugués égaux d'une ellipse dont on donne les axes.
42. Les axes d'une ellipse étant donnés, construire deux diamètres conjugués de Pellipse faisant entre eux un angle donné.
43. Par les extrémités C et C de deux demi-diamètres conjugués d'une ellipse on mène les tangentes qui rencontrent le grand axe en T et T', le petit axe en S et S'. Démontrer que le point 0 étant le centre, on a
ôt'
Qf,2
os'
