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Démontrer que la droite MM' enveloppe une parabole. Théorème réciproque.
14. Les droites qui joignent deux points fixes P et Q d'une hyperbole à un point variable M de cette courbe découpent un segment de longueur constante sur une asymptote.
15. Étant donnés sur une conique deux points fixes P, Q et une tangente fixe en un point A, les droites PM, QM qui joignent les points P et Q à un point variable M de la conique rencontrent la tangente fixe en deux points R et S tels que
Tk-Xs- = *^°"'*-
16. Soient P et Q deux points fixes d'une parabole, M un point variable, a et ^ les angles des droites PM, QM avec l'axe. Démontrer que la différence
cotg ji — cotg a ' reste fixe.
17. Les droites qui joignent deux points fixes P et Q d'une conique à un point variable M de cette conique rencontrent une transversale L en deux points jj. et ii', qui se correspondent homographiquement. Quelle doit être la position de la droite L pour que cette correspondance soit involutive ? Indiquer la propriété corrélative.
18. Étant données deux droites D et D' et une conique C, à chaque point M de la droite D on fait correspondre le point M' où la polaire de M rencontre la droite D'. Trouver l'enveloppe de la droite MM'. — Théorème corrélatif.
19. Si, dans l'exercice précédent, D et D' sont les directrices de la conique G, la conique enveloppe de la corde MM' a les mêmes foyers que la conique C.
20. Étant donné un triangle ABC, on prend sur le côté BC deux points a et a', sur le côté GA deux points p et p', sur le côté AB
deux points y et y- Démontrer que la condition nécessaire et suffisante pour que les six points a, a', p, p', y, y' appartiennent k une même conique est
aBXa'B ^CX^'C yAXfA
^ '' aCXa'G -^ pAxP'A ^ yBXt'B ^
[On démontre que la relation ( 1 ) existe dans le cas où la conique est un cercle ; on vérifie ensuite que le premier membre de cette relation conserve sa valeur quand on fait une projection centrale.]
21. Pour que les six droites Aa, Aa', Bj3, B[î', Cy, Cy' soient tangentes à une même conique, il faut et il suffit que la relation (t) {exercice 20) soit vérifiée.
22. Démontrer que si MM' et NN' sont deux sécantes parallèles d'une conique, RR' une sécante quelconque rencontrant MM' en P et NN' en Q, on a
