PM X PM^ QN X QN

PRXPR' ~ QRXQR' ■

23. Déduire de Fexercice précédent une démonstration de la propriété indiquée (exercice 40, /" série). Étendre la propriété à toutes les coniques.

24. Si PMM' et PNN' sont deux sécantes rectangulaires d'une hyperbole équilatère, on a

PMXPM =— PNXPN'.

En conclure que toute hyperbole équilatère circonscrits à un triangle passe par le point de rencontre des hauteurs.

25. Mener par un point donné I deux droites rectangulaires conjuguées par rapport à une conique.

26. Étant données une conique G et une droite extérieure D, il existe deux points I et I' tels que tout segment de la droite D ayant pour extrémités deux points conjugués par rapport à la conique soit vu des points I et l' sous un angle droit. Construire ces deux points.

27. Étant donnés une conique et un point I de son plan, il existe deux droites D et D' telles que les rayons qui vont du point I à deux points de l'une des droites conjuguées par rapport à la conique soient rectangulaires. Construire ces deux droites.

28. Étant données une conique C et une droite extérieure D, trouver le lieu des points S tels que le cône qui a pour sommet S et pour base la conique G soit coupé par un pian parallèle au plan (S, D) suivant un cercle.

29. Etant donnés une conique C et un point 0, on considère toutes les cordes AB de la conique telles que OA et OB soient deux rayons correspondarits d'un faisceau donné en involution. — Enveloppe de la ^corde AB. Cette enveloppe est une conique, la polaire du point 0 par rapport à cette conique est la même que par rapport à la conique G.

Deux rayons correspondants OA, OB du faisceau en involution sont conjugués par rapport à l'enveloppe.

Cas où les rayons doubles du faisceau en involution sont conjugués par rapport à la conique C. — Théorème corrélatif.

30. Autour du centre 0 d'une conique on fait tourner un angle droit dont les côtés rencontrent la conique en A et B. Démontrer que la corde AB enveloppe un cercle de centre 0.

En donner une démonstration directe en vérifiant que

ÔÂ^ ôb' reste fixe quand l'angle tourne autour du point 0.

31. Autour du foyer d'une conique on fait tourner un angle droit dont les côtés rencontrent la conique en A et B. Enveloppe de la corde AB.

32. Lieu des points d'où l'on peut mener à une conique G des tangentes parallèles à deux diamètres conjugués d'une conique G'.

33. Lieu des points tels que les tangentes issues de chacun d'eux à une conique G soient également inclinées sur une droite fixe D.

34. Étant donnés cinq points d'une conique, construire : 1" La tangente en l'un de ces points ;

2° L'intersection de la conique avec une droite passant par l'un des points;

3° Le centre, les axes et les asymptotes.

35. Étant données cinq tangentes d'une conique, construire : 1° Le point de contact de chacune d'elles ;

2° Les tangentes à la conique menées d'un point d'une droite donnée ; 3° Le centre, les axes et les asymptotes.

36. Construire une hyperbole équilatère connaissant la direction des asymptotes et trois points de la courbe.

37. Les polaires d'un point P par rapport à toutes les coniques qui passent par quatre points concourent en un même point P'. Lieu du point P' quand P décrit une droite.

38. Le lieu des pôles d'une droite D par rapport à toutes les coniques tangentes à quatre droites est une droite A. Trouver l'enveloppe de la droite a quand la droite D passe par un point fixe.

39. Lieu des centres des coniques inscrites dans un quadrilatère.

40. Une droite D est ane corde commune à deux coniques C et C si tout couple de deux points de la droite D conjugués par rapport à l'une est conjugué par rapport à l'autre. Dans le cas où la droite D coupe la conique C, les deux coniques ont deux points communs situés sur la droite D ; si la droite D est extérieure à la conique C, elle est aussi extérieure à la conique C La droite D est alors une corde commune ayant des points d'intersection imaginaires.

Dans tous les cas, montrer qu'il existe un point de la droite D qui a même polaire par rapport aux deux coniques.

41. Un point S est un centre de tangentes communes à deux coniques C et C si tout couple de deux rayons issus du point S et conjugués par rapport à Tune est conjugué par rapport à l'autre.

Si le point S est extérieur à l'une des coniques, il est extérieur à l'autre ; les tangentes issues du point S aux deux coniques sont les mêmes.

Si le point S est intérieur à l'une des coniques, il est intérieur à l'autre. On dit que de ce point on peut mener les mêmes tangentes imaginaires aux deux coniques.

Dans tous les cas, il existe une droite passant par le point S qui a même pôle par rapport aux deux coniques.

42. Soit D une sécante commune extérieure à deux coniques C et C. Démontrer qu'on peut trouver des points S tels que les cônes (S, C), (S, C) soient coupés suivant des cercles par des plans parallèles au plan (S, D).

43. Étant données une conique C et deux droites extérieures D et D', on considère toutes les coniques S qui ont comme cordes communes avec la conique C les droites D et D'. Démontrer que les deux points où chacune de ces coniques coupe une droite L sont deux points correspondants d'une division en involution. Démontrer en outre que ces coniques possèdent la propriété indiquée à l'exercice 37.

Indiquer les propriétés corrélatives.

44. On considère toutes les coniques touchant une droite donnée en un point donné A et passant par deux points donnés B et C ; chacune de ces coniques coupe deux droites données kx, ky aux points D et E. Démontrer que la droite DE passe par un point fixe. — Théorème corrélatif.

45. On considère toutes les hyperboles équilatères qui ont une asymptote donnée et qui passent par un point donné ; chacune de ces courbes rencontre deux droites fixes H et H', parallèles à l'asymptote donnée, en D et D'. Démontrer que la droite DD' passe par un point fixe.

46. On considère toutes les coniques passant par quatre points A, B, C, D ; chacune d'elles coupe deux droites fixes kx, ky en M et N. Enveloppe de la corde MN. — Théorème corrélatif. .

47. Lieu des points d'où l'on peut mener aux paraboles tangentes à trois droites données des tangentes ayant des directions données.

48. Lorsque deux triangles sont inscrits dans une même conique, leurs côtés sont tangents à une autre conique. (La démonstration repose sur la propriété établie à l'exercice 46). — Théorème corrélatif.

49. S'il existe un triangle inscrit dans une conique C et circonscrit à une conique C, il existe une infinité de triangles analogues.

50. Le centre commun S de deux faisceaux homographiques est situé sur une conique C ; deux rayons correspondants rencontrent la conique en M et N. Enveloppe de la droite MN. — Théorème corrélatif.

51 . Lieu des sommets des angles de grandeur constante tangents à une parabole.

52. Si deux triangles ABC, A'B'C sont conjugués par rapporta une même conique S : i° leurs sommets appartiennent à une même conique; 2° leurs côtés sont tangents à une même conique.

[La démonstration repose sur la remarque suivante :

Donnons-nous le triangle ABC et le sommet A' du second triangle. Les sommets B' et C sont en correspondance involutive sur la polaire H du point A' ; d'autre part, si l'on considère toutes les coniques passant par les quatre points A, B, C, A', chacune d'elles coupe la droite H en deux points qui se correspondent involutivement. On démontrera que ces deux correspondances en in^olution sont identiques.]

53. S'il existe un triangle ABC inscrit dans une conique S et conjugué par rapport à une conique S, il existe une infinité de iriangles possédant ces deux propriétés. Les côtés de ces triangles sont tangents à une môme conique. — Théorème corrélatif.

54. Étant donnés une hyperbole équilatère H et un cercle C ayant son centre en P sur l'hyperbole, il existe une infinité de triangles ABC inscrits dans l'hyperbole H et conjugués par rapport au cercle C. Les côtés de ces triangles enveloppent une parabole et les cercles circonscrits passent par deux points fixes.

55. Étant donnés une conique et deux points fixes A et B, les droites MA, MB qui vont d'un point variable de la conique aux points A et B coupent la conique en E et F. Enveloppe de Ja droite EF. — Théorème corrélatif.

56. Si tous les sommets d'un polygone se déplacent sur une conique et si tous les côtés, sauf un, tournent autour de points fixes, le côté libre enveloppe une conique. — Théorème corrélatif.

57. Étant données deux coniques C et t, on considère toutes les droites D telles que les points d'intersection de chacune d'elles

EXERCICES 38i

avec la conique C soient conjugués harmoniques par rapport à ses points d'intersection avec la conique r.

Démontrer que les droites D enveloppent une conique. — Cas où l'enveloppe se réduit à deux points. .

58. On considère les coniques circonscrites à un triaigle et telles que deux points donnés P et P' soient conjugués par rapport à ces coniques. Démontrer que tontes ces coniques passent par un quatrième point et construire ce point. — Théorème corrélatif.

B9. On considère toutes les coniques inscrites dans un triangle et telles que les tangentes menées d'un point P à chacune d'elles soient rectangulaires. Démontrer que tontes ces coniques touchent une quatrième droite et construire cette droite.

60. Deux coniques C et C sont dites hitangentes lorsqu'il existe une droite D telle que tout point de cette droite a même polaire par rapport aux deux coniques. La droite D est la corde de contact ; cette droite D a même pôle S par rapport aux deux coniques. Ce pôle commun S est le centre de contact ; toute droite passant par le point S a même pôle par rapport aux deux coniques.

Si la droite D coupe Tune des coniques, elle coupe l'autre aux mêmes points ; aux points communs, les deux coniques ont les mêmes tangentes.

Si la droite D est extérieure à l'une des coniques, elle est extérieure à l'autre ; on dit que les deux coniques ont un double contact en des points imaginaires de la droite D.

Démontrer, dans ce dernier cas, qu'on peut faire une projection centrale dans laquelle les coniques se projettent suivant deux cercles concentriques.

61. Étant donnés une conique C, une droite D et un point A, construire une conique C passant par le point A, bitangente à la co'nique C, la corde de contact étant D. — Problème corrélatif.

62. Les coniques hitangentes à une conique C et passant par deux points donnés A et A' se partagent en deux séries ; les cordes de contact des coniques d'une même série passent par un môme point 1 de la droite AA'. — Théorème corrélatif.

63. Construire une conique bitangente à une conique donnée et passant par trois points donnés.

64. Construire une conique bitangente à une conique donnée et tangente à trois droites données.

65. Étant donnés une conique et un point P intérieur à cette conique, faire une projection centrale telle que la conique se projette suivant un cercle et le point P au centre de ce cercle. — Lieu des centres de projection.

66. Étant donnés une conique et un point P extérieur à cette conique, faire une projection centrale telle que la conique se projette suivant une hyperbole équilatère et le point P au centre de cette hyperbole. — Lieu des centres de projection.

67. Étant donnés une conique et deux points P et Q intérieurs à cette conique^ faire une projection centrale telle que le point P se projette au centre et le point Q à un foyer de la projection.

68. Étant données deux droites D et A non situées dans un même plan et deux divisions homographiques ayant pour bases ces deux droites, on considère les droites MM' qui joignent les points correspondants de ces divisions. Trouver : 1° le lieu des traces de ces droites sur un plan quelconque n ; 2° l'enveloppe des projections centrales de ces droites sur le plan n.

69. Étant données deux droites D et A qui ne sont pas situées dans un même plan, on considère toutes les sécantes L à ces deux droites telles que les plans (D, L) et (A, L) soient rectangulaires. Démontrer que les sécantes L déterminent sur les droites D et A des divisions homographiques.

70. Deux droites D et A non situées dans un même plan rencontrent respectivement une conique en P et Q ; par chaque point M de la conique on mène une droite L rencontrant les droites D et A. Démontrer que les sécantes L déterminent sur les droites D et A des divisions homographiques.

71. Deux cônes qui ont pour bases une même conique se coupent suivant une autre conique. — Construire le plan de cette conique.

72. Conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il existe un cône contenant deux coniques données. — Montrer qu'il existera, eu général, un autre cône contenant ces coniques.

73. Un cône a pour base une conique C et pour sommet le point S ; par le point S on mène une droite D perpendiculaire à chacun des plans tangents au cône S ; les droites D décrivent un cône T. Démontrer:

i° Que tout plan coupe le cône T suivant une conique ;

2° Que si on applique la même construction au cône T, on retrouve le cône S.

Indiquer la relation qui existe entre les intersections des cônes S et T par un même plan.

Ces deux cônes S et T sont dits supplémentaires .

74. Une conique G a pour sommets A, A'; parla droite AA' on mène un plan perpendiculaire au plan de la conique et on prend un point quelconque S dans ce plan. Trouver les sections circulaires du cône (S, C).

75. Un cône a pour sommet S et pour base un cercle C. Trouver les sections circulaires du cône supplémentaire du cône (S, C).

76. Deux cônes de même sommet S sont dits homocycliques lorsqu'il existe deux séries de plans parallèles qui coupent chacun des cônes suivant des cercles. Démontrer :

1° Que deux cônes homocycliques ont le même plan principal ;

2° Que tout plan mené par le sommet commun coupe chacun d'eux suivant un système de deux droites ayant les mêmes bissectrices ;

3° Que si un plan est tangent à deux cônes homocycliques, les génératrices de contact sont rectangulaires ;

4° Que si l'on considère tous les cônes homocycliques d'un cône donné, les cercles suivant lesquels ils sont coupés par un même plan de sections circulaires forment un faisceau.

77. Dans un cône à base circulaire on appelle focales les droites menées par le sommet perpendiculairement aux sections circulaires du cône supplémentaire. Démontrer que tout plan perpendiculaire à une focale coupe le cône primitif suivant une conique ayant son foyer au pied de la focale.

78. La projection orthogonale d'une section plane d'un cône de révolution sur un plan perpendiculaire à l'axe a l'un de ses foyers au pied de l'axe. — Quelle est la directrice correspondante ?