première partie 64 . Deux côtés consécutifs d'un polygone ont

un point commun, qui est un sommet du polygone; il peut se

faire que deux cotés non consécutifs se coupent, le point

d'intersection de ces deux côtés est

appelé un point de croisement. . Ainsi,

le quadrilatère ABC {[ïg. 261;, dont

les côtés BC et DA se coupent en I,

présente un point de croisement , le

point I.

o07. Définitions. — Un point P, non Fig. 261. situé sur le périmètre d'un polygone,

est dit intérieur au polygone si toute demi-droite issue de ce point rencontre le périmètre du polygone en un nombre impair de points; au contraire, le point P est dit extérieur au polygone si toute demi-droite issue de ce point rencontre le périmètre en un nombre pair de points (zéro étant compris).

Pour éviter toute difficulté, nous exclurons de nos considérations les demi-droites qui passent par un sommet ou par un point de croisement.

Pour justifier la définition donnée, il faut montrer que si une demi-droite tourne autour d'un point P (en tenant compte de l'exclusion qui vient d'être indiquée), le nombre des points où elle rencontre le polygone est ou toujours pair ou toujours impair.

En effet, considérons les demi-droites issues du point P et allant aux sommets et aux points de croisement du polygone; supposons d'abord ces demi-droites distinctes, et appelons D l'ensemble de ces demi-droites. Imaginons maintenant qu'une demi-droite PL tourne autour du point P, toujours dans le même sens; nous allons chercher comment varie le nombre des points d'intersection de la demi-droite avec le périmètre du poJygone. Pour cela nous examinerons les cas suivants :

1° Deux demi-droites PL, PL' ne contiennent dans leur angle aucune des demi-droites D.

Dans ce cas (505), tout côté qui rencontre la demi-droite PL rencontre la demi-droite PL'; le nombre des points d'intersection des deux demi-droites est le même.

2° Deux demi-droites PL, PL' comprennent dans leur angle une seule demi-droite D.

Partageons les côtés du polygone en deux groupes : d'une part, les deux côtés qui se coupent sur la demi-droite D; d'autre part, les autres côtés.

Pour la même raison que dans le cas précédent, le nombre des points d'intersection des deux demi-droites PL, PL' avec les côtés du second groupe est le même. Il reste donc à chercher le nombre des points d'intersection des demi-droites avec les deux côtés qui se rencontrent sur la demi-droite D; soit A ce point de rencontre.

Si le point A est un point de croisement [fig. 262), chacun des

Fig. 263.

côtés qui passent par A a ses sommets en dehors de l'angle LPL', et dans des régions différentes par rapport au couple de droites PL, PL' (505) ; chacun de ces côtés rencontre donc les demidroites PL, PL'.

Supposons que le point A soit un sommet {fig. 263) ; soient B et C les sommets consécutifs qui sont placés en dehors de l'angle LPL'; on voit facilement (505) que si la ligne brisée BAC

POLYGONES PLANS 389

rencontre une demi-droite en un point, elle rencontre aussi l'autre en un point; que si cette ligne brisée rencontre une des demi-droites en deux points, elle ne rencontre pas l'autre, et inversement.

Donc, dans ce cas, la différence entre le nombre des points d'intersection des demi-droites PL et PL' est pair.

'à° Les demi-droites PL et PL' sont quelconques.

On pourra toujours intercaler dans l'angle LPL' un certain nombre de demi-droites PLj, PLj, etc., telles que si l'on considère la série PL, PLj, PL2, ..., PL', on passe d'une demidroite à la suivante en restant dans l'un des deux cas qui viennent d'être examinés. Quand on passe d'une demi-droite à la suivante, le nombre des points d'intersection varie d'un nombre pair; par conséquent, si l'on compte les points d'intersection des deux demi-droites PL, PL', ces deux nombres sont : ou tous deux pairs, ou tous deux impairs.

508. Remarque L — Le cas où deux demi-droites de l'ensemble D sont confondues peut être considéré comme un cas limite du précédent. On peut d'ailleurs le traiter directement. Si, en effet, il y avait sur une même demi-droite D plusieurs sommets eu points de croisement, on considérerait isolément chacun de ces points; la différence entre le nombre des points d'intersection des demi-droites PL et PL' avec les deux côtés qui passent par chacun des points est toujours paire ; donc il en est de même pour l'ensemble des côtés qui passent par les sommets et les points de croisement situés sur la demi-droite D.

Si un côté BC du polygone était placé sur la demi-droite D, on considérerait les deux côtés consécutifs AB et CD ; on verrait comme plus haut que les nombres de points d'intersection de ces deux côtés soit avec la demi-droite PL, soit avec la demidroite PL', sont de même parité.

509. Remarque IL — 11 résulte de ce qui précède qu'on peut supprimer, sans changer les résultats du théorème qui sert à justifier la définition des points intérieurs et extérieurs, l'obliga-

:tion imposée à la demi-droite de ne pas passer par un point de croisement, pourvu qu'on compte ce point de croisement pour deux dans le nombre des points d'intersection. Avec cette convention, on voit que le nombre des points d'intersection d'une demidroite avec le périmètre du polygone ne change pas quand, en tournant autour de son origine, la demi-droite vient passer par un point de croisement.

510. Corollaires. — 1° Tout segment de droite qui joint deux points intérieurs ^ sans passer par un sommet^ rencontre le périmètre en un nombre pair de points.

En effet, soient P et Q les deux points intérieurs. Prolongeons la droite PQ indéfiniment au delà des points P €t Q ; on obtient ainsi deux demi-droites ayant pour origine P et Q, et chacune d'elles rencontre le périmètre en un nombre impair de points, La différence entre le nombre des points d'intersection est donc paire ; or cette différence représente le nombre des points d'intersection situés sur le segment PQ, ce qui justifie la proposition .

2° Tout segment qui joint deux points extérieurs, sans passer par un sommet, rencontre le périmètre en un nombre pair de points.

3° Tout segment qui joint un point extérieur à un point intérieur, sans passer par un sommet (nous verrons tout à l'heure que cette restriction est inutile), coupe le périmètre en un nombre impair de points.

Même démonstration que pour le premier corollaire.

Réciproquement, si un segment PQ, ne passant pas par un sommet, rencontre le périmètre en un nombre pair de points^ les points P e/ Q sont: ou tous deux intérieurs, ou tous deux extérieurs au polygone. Si le segment rencontre le périmètre en un nombre impair de points, l'un des points V et Q est intérieur au polygone et Vautre extérieur.

511. Sécantes menées par un sommet. — Dans la définition des points intérieurs ou extérieurs à un polygone, nous avons

POLYGONES PLANS

exclu la considération des demi-droites passant par un sommet. Nous allons montrer que, grâce à une convention que nous allons faire, on peut introduire ces demi-droites aussi bien que les autres. Nous supposerons d'abord que la sécante ne contient qu'un seul sommet A; soient AB et AC les côtés du polygone qui passent par le sommet A, P un point quelconque de la sécante. Nous distinguerons deux cas:

1° Les côtés AB et AG sont de part et d'autre de la sécante ifig. 264).

Nous avons vu que dans ce cas on peut former un angle LPL' (507) comprenant la demi-droite PA et tel que si une demidroite Vx est intérieure à cet anglC;, le nombre des points d'intersection de Vx avec le périmètre est le même que celui des points d'intersection de la droite PA ; donc, on pourra se servir de la demi-droite PA pour savoir si le point P est intérieur ou

Fig. 264.

Fig. 265-

extérieur au polygone, en comptant pour une unité le point d'intersection A.

2° Les côtés AB et AC sont d'un même côté jjar rapport à la sécante {fig. 265).

On peut dans ce cas (507) former un angle LPL' tel qu'une demi-droite Pa? située dans l'angle LPA coupe le périmètre en A;-f- 2 points, une demi-droite située dans l'angle APL' le cou-

panten k points; enfin la demi-droite PA le coupera en ^-i-l points. Si donc nous convenons de dire que la demi-droite PA coupe le périmètre en deux points confondus avec le sommet A, on pourra faire usage de la demi-droite PA pour voir si le point P est intérieur ou extérieur au polygone.

Il est clair que cette convention étant faite, les corollaires du n° 510 sont applicables à des segments de droites passant par un sommet.

512. Remarque. — On voit facilement que la convention qui vient d'être faite permet de distinguer les points intérieurs ou extérieurs, même dans le cas où la sécante contient plusieurs sommets.

513. Soit D une sécante passant- par un sommet A [fig. 266). Le point A partage la droite D en deux demi-droites kx, Aa?' ; soient H et K les points où ces demi-droites rencontrent pour la première fois le périmètre (si la demidroite kx ne rencontre pas le périmètre, on peut prendre le point H n'importe où sur cette demi-droite; même remarque pour le point K sur kx'). Les points du segment AH sont: ou tous intérieurs, ou tous extérieurs au polygone^ car si P et P' sont deux de ces points, le segments PP' ne rencontre pas le périmètre, les points P et P' (510) appartiennent à la même région ; même conclusion pour les points du segment AK.

Prenons maintenant un point P sur le segment AH et un point Q sur le segment AK. Si les deux côtés AB, AG du polygone sont de part et d'autre de la droite D, le point A compte pour un seul point d'intersection (511); donc P et Q sont dans des régions distinctes. Des

Fig. 266.

POLYGONES PLANS

deux segments AH et AK, l'un est intérieur au polygone, l'autre est extérieur ; on dit que la sécante traverse le polygone. Si, au contraire, les deux côtés AB, AC sont d'un même côté de la droite D, le point A compte pour deux points d'intersection (511); les points P et Q appartiennent à la même région. Les deux segments AH et AK sont: ou tous deux intérieurs, ou tous deux extérieurs au polygone ; on dit que la sécante ne traverse pas le polygone.

514. Angle d'un polygone. — Soient A le sommet d'un polygone, AB, AG les côtés qui passent parce sommet, Ax une demi-droite issue du sommet A. Nous avons vu qu'on peut trouver sur kx un point H tel que les points du segment AH soient: ou tous intérieurs au polygone, ou tous extérieurs; dans le premier cas, nous dirons que la demi-droite pénètre à l'intérieur du polygone; dans le second cas, qu'elle pénètre à l'extérieur du polygone.

Considérons deux demi-droites Ax, Ay (fig. 267); on peut prendre sur ces demi-droites des points H et K tels que tous les points du segment AH appartiennent à une même région, de même que tous les points du segment AK, et que de plus le segment HK ne rencontre pas ce qui reste du périmètre du polygone quand on en a enlevé la ligne brisée BAC.

Cela posé, si les demi-droites Aa; et ky sont toutes deux à l'intérieur ou toutes deux à l'extérieur de l'angle BAC, le segment HK coupe l'angle BAC, et par suite le périmètre, en 0 ou 2 points, les. points H et K appartiennent à la même région; donc les demi-droites Ax et Ay pénètrent : ou toutes deux à l'intérieur, ou toutes deux à l'extérieur du polygone. Si l'une des demidroites Aa?, Ay est dans l'angle BAC et l'autre hors de cet angle, l'une des droites pénètre à l'intérieur et l'autre à l'exté-

rieur, comme le montre un raisonnement analogue au précédent.

Il résulte de là que les demi-droites issues du sommet A se partagent en deux groupes, celles qui pénètrent à l'intérieur du polygone et celles qui pénètrent à l'extérieur; que ces deux groupes sont séparés par les demi-droites AB, AC, formées par les côtés du polygone.

Si les demi-droites qui pénètrent à l'intérieur sont situées dans l'angle BAC, on dit que l'angle A est un angle ordinaire du polygone ; dans le cas contraire, l'angle A est un angle rentrant du polygone.

Supposons qu'on ait fixé le rang des côtés d'un polygone [64]; imaginons une demi-droite tournant autour d'un sommet A, coïncidant à l'origine avec le côté de rang le moins élevé pour aboutir à l'autre, et tournant dans un sens tel qu'elle pénètre constamment à l'intérieur.

Le sens de l'angle A est le sens de rotation de cette demidroite.

La grandeur de l'angle est celle de l'angle dont on a fait tourner la demi-droite. On voit que si A est un angle rentrant, la grandeur de l'angle A surpasse deux droits.

515. Théorème. — Si un ijolygone n'a pas de points de croisement et si V et Q sont deux points quelconques pris à l'intérieur du polygone, il existe une ligne brisée ayant pour extrémités "P et Q et située tout entière à l'intérieur du polygone.

Autrement dit, on peut aller d'un point intérieur à un autre point intérieur par un chemin formé de droites et ne rencontrant pas le périmètre.

Nous démontrerons d'abord le lemme suivant :

Lemme. — Soient AB un côté du polygone (fig. 268), D et Di deux sécantes qui traversent le polygone en A ef B; prenons sur ces sécantes les demi-droites Ax,By qui pénètrent à l'intérieur. On pourra trouver sur ces demi-droites des points R et K tels que si a. est un point quelconque du segment AH, j3 un point quel-

POLYGONES PLANS

Fig. 268.

conque du segment BK, le segment aj3 soii tout entier à l'intérieur du polygone.

Nous pouvons évidemment prendre sur la demi-droite Ax un

point H' satisfaisant aux deux conditions suivantes :

i° tous les points du segment AH' sont intérieurs au polygone; 2° il n'existe pas de sommets du polygone à Fintérieur de l'angle ABH' (sauf sur le prolongement de BA). Je dis que dans ces conditions, il n'existe pas de points du périmètre du polygone à l'intérieur du triangle ABH', ni sur le côté BH' ; en effet, supposons qu'il existe un tel point [i et considérons le côté RS qui contient ce point; les sommets R et S sont, d'après la dernière hypothèse, en dehors du triangle ou sur la droite BA. Le côté RS ne peut pas être le côté qui a pour sommet A, car alors la sécante D ne traverserait pas le polygone en A; le segment RS doit donc couper deux côtés du triangle ; or il ne peut pas couper AB puisque le polygone n'a pas de points de croisement ; il ne peut pas couper AH', car tous les points du segment AH' sont à l'intérieur du polygone. L'existence d'un tel point [j. est donc impossible.

Gela posé, prenons un point quelconque H sur le segment AH', et déterminons sur la demi-droite By un point K satisfaisant aux deux conditions suivantes : 1° le segment BK est tout entier à l'intérieur du polygone ; 2° il n'existe pas de sommets du polygone à l'intérieur de l'angle BHK (sauf sur le prolongement de HB). On voit comme tout à l'heure qu'il n'existe pas de points du périmètre du polygone à l'intérieur du triangle BHK.

n en résulte que si a est un point quelconque du segment AH, [i un point quelconque du segment BK;, le segment a^ ne

rencontre pas le périmètre; tous les points de ce segment sont donc à l'intérieur du polygone.

On pourra donc construire un polygone a^y. . -^ dont le périmètre est situé en entier à l'intérieur du polygone donné. Il est clair qu'on peut aller d'un point quelconque de la ligne ap,..X à un autre point de cette ligne sans rencontrer le périmètre. Pour démontrer le théorème, il suffit donc de montrer qu'on peut aller d'un point intérieur quelconque P à un point de la ligne a^. . .X sans rencontrer le périmètre. Pour cela, je mène par le point P une demi-droite quelconque, ne passant pas par un sommet ; cette demi-droite rencontre le périmètre du polygone. Soient M celui des points de rencontre qui est le plus rapproché du point P {fig. 269), AB le côté qui contient le point M, a et p les sommets correspondants de la ligne ap.,.X. La droite indéfinie MP rencontre le quadrilatère ABa^ en un autre point [Jt. ; ce point [j. est situé sur / la demi-droite MP; en eftet, s'il était

/p' placé sur la demi-droite opposée MP',

„. „„„ il y aurait sur le segment Pu un seul

Fig. 269. •' ~ '

point d'intersection M, ce qui est impossible puisque les points P et [i. sont tous deux intérieurs au polygone. Gela posé, si le point \>. est sur le segment a^, on suivra le chemin V\l; si \i. est sur Aa, on suivra le chemin P[jia; on va bien ainsi du point P à la ligne «p. . .X sans rencontrer le périmètre du polygone.

516. On démontrerait très facilement que si les points P et Q sont extérieurs au polygone, on peut aller de P en Q par un chemin formé de droites et ne rencontrant pas le périmètre.

517. Définition. — Considérons des lignes quelconques tracées dans un plan; deux points A et B sont dits dans une même région par rapport à ces lignes si l'on peut trouver un chemin

POLYGONES PLANS 397

rectiligne allant de A en B sans rencontrer ces lignes. Il est clair que si les points A et B d'une part, les points A et G d'autre part sont dans une même région, il en sera de même des points B et G, ce qui justifie la définition des régions.

Un polygone qui n'a pas de points de croisement partage alors le plan en deux régions; l'une est formée par l'ensemble des points intérieurs, l'autre par l'ensemble des points extérieurs; cette dernière est évidemment illimitée, c'est pourquoi on peut dire aussi :

Un polygone qui n'a pas de points de croisement ne limite qu'une seule région du plan.

518. Somme de deux polygones. — Lorsque deux polygones qui n'ont pas de points de croisement ont une portion de périmètre commune et lorsque tout point situé à l'intérieur de l'un est extérieur à l'autre, le polygone obtenu en supprimant la portion de périmètre commune est la somme des deux polygories ; les points intérieurs à la somme se composent des points intérieurs au premier et des points intérieurs au second.

On définit de même la somme de plusieurs polygones.

519. On appelle coupure dans un polygone une ligne brisée allant d'un point du périmètre à un autre point du périmètre en restant tout entière à l'intérieur du polygone.

Théorème. — Une coupure sépare un polygone P qui n'a pas de points de croisement en deux polygones Q e^ R dont la somme est le polygone P.

Soient ABGDEFG (^g^. 270) le polygone P, a^yS une coupure; la coupure forme avec le périmètre du polygone P deux polygones aPySBAGF et a^ySCDE, qui sont les polygones Q et R. Pour démontrer que le polygone P est la somme des polygones Q et R, il faut montrer que tout point intérieur à l'un de ces polygones est extérieur à l'autre.

Désignons par a, b, c les nombres des points d'intersection d'une demi-droite avec les lignes brisées aPyS, SBAGFa, 8GDEa.

Si la demi-droite est issue d'un point M intérieur au polygone P, la somme 6 + c est impaire et, par conséquent, des deux

nombres a-t-è, a-\-c, l'un est pair et l'autre est impair.

Donc le point M est intérieur à l'un des polygones Q et R et extérieur à l'autre.

Si maintenant, sur une sécante quelconque, on prend un point H tel que la demidroite Ha? ne rencontre pas le périmètre du polygone P, on sera sûr que la demi-droite ^'^' ^™- Ha? ne rencontrera pas les

périmètres des polygones Q et R; le point H est donc extérieur aux trois polygones. Cela posé, soit M un point extérieur à P. On peut trouver un chemin allant de H en M sans rencontrer le périmètre de P/ ce chemin ne rencontre pas les périmètres de Q et R ; donc, par rapport à ces derniers polygones, H et M sont dans la même région ; M est donc extérieur à Q et R.

Nous avons démontré que :

\° Si un point est intérieur à P, il est intérieur à l'un des polygones Q ou R et extérieur à l'autre;

2° Si un point est extérieur à P, il est extérieur à Q et R. Il en résulte bien que tout point intérieur à l'un des polygones est extérieur à l'autre.

520. Théorème. — 7'out polygone qui n'a pas de points de croisement peut être décomjjosé en une somme de triangles.

Il suffit évidemment de montrer qu'on peut dans un polygone quelconque, trouver une coupure qui le décompose en deux polygones ayant chacun moins de côtés.

S'il existe un angle rentrant A, le côté RA prolongé au delà du sommet A pénètre dans l'intérieur; soit \i le premier point

POLYGONES PLANS

de rencontre avec le polygone. La coupure A;ji possède la propriété demandée.

Supposons qu'il n'y ait pas d'angle rentrant; soit DBAGE

[fig. 271) une portion du périmètre du polygone.

Si la demi-droite BC issue du sommet B ne pénètre pas à l'intérieur du polygone, c'est que le côté BD est à l'intérieur de l'angle ABC ; comme il n'y a pas de points de croisement, le sommet D est à l'intérieur du triangle ABC ; la droite AD étant dans l'angle BAC, la demi-droite AD issue du sommet A pénètre à l'intérieur du polygone. On peut donc toujours supposer que l'une des demi-droites AD, BG pénètre à l'intérieur du polygone; supposons que ce soit la demi-droite AD; soit [x le premier point de rencontre de cette demi-droite av€c le périmètre. La coupure Ap. possède la propriété demandée.

Fig. 271.