POLYÈDRES

5'^2. Théorème. — Si A et B sont deux points de la surface polyédrale, on peut aller de A en B en suivant un chemin brisé rectiligne situé en entier sur la surface.

En effets soient a, yi, y^, .... jq, '^ une suite de faces adjacentes allant de la face a qui contient le point A à la face ^ qui contient le point B. Sur les arêtes qui séparent deux faces consécutives de cette série marquons arbitrairement des points Cj, C2, ..., Cq. On peut aller de A en Ci en restant à l'intérieur du polygone a, c'est-à-dire en restant sur la surface ; on peut aller de même de Ci en C,, C2 en C3, ..., Cq en B. Donc on va bien de A en B en restant sur la surface.

523. Si deux faces non adjacentes ont des points intérieurs communs, ces points, situés sur la droite d'intersection des faces, formeront un ou plusieurs segments de droites. Ces points sont des points de croisement de la surface; les segments de droites sur lesquels ils sont placés sont les fausses arêtes; les extrémités de ces segments, les faux sommets.

524. Intersection d'un polyèdre avec un plan. — L'intersection d'un polyèdre et d'un plan se compose de l'ensemble des points de la surface polyédrale situés dans le plan.

Soit alors P une face du polyèdre ; le plan de cette face est coupé par le plan sécant suivant une droite L. Si cette droite L est extérieure au polygone P, il n'y a pas de points de la face P situés dans le plan sécant; si la droite L n'est pas extérieure au polygone P, les points communs à la face P et au plan sécant formeront un ou plusieurs segments de droites situés sur la droite L; les extrémités de ces segments sont situés sur les arêtes du polygone P.

Soit ab l'un de ces segments ; par le point b passe une face du polyèdre, celle qui est adjacente au polygone P suivant l'arête qui passe par le point b ; soit Q cette face; la droite d'intersection du plan sécant avec la face Q passant par le point b, il y aura sur cette droite un segment bc intérieur à la face Q. On raisonnerait de même sur le point c ; on arrive ainsi à

GUICHARD, — ïnAITÉ DE GÉOM . II 26

obtenir une suite de points

a^ b, c, d, . . . ; je dis que ces points forment les sommets d'un polygone. Tout d'abord, en suivant cette suite, on arrivera forcément à un point déjà écrit, car le nombre de ces points est limité; je dis de plus que ce fait se présentera pour la première fois en a. En effet, il ne peut pas se produire en c, par exemple, car il n'y a que deux segments de l'intersection qui passent par le point c, ce sont bc et cd ; le segment qui ramène en c serait donc feç, on revient donc en b avant de revenir en c. Cette partie de l'intersection forme donc un polygone. S'il y a des points d'intersection en dehors du périmètre de ce polygone, on pourra raisonner sur eux comme sur les précédents. Donc :

L'intersection d'un polyèdre et d'un plan se compose de polygones.

Le raisonnement précédent suppose que le plan sécant ne passe pas par un sommet ; on voit facilement les modifications qui s'introduisent dans ce cas.

Les périmètres des polygones d'intersection n'ont de points communs que s'il existe de fausses arêtes; s'il n'y a pas de fausses arêtes, un polygone d'intersection n'a pas de points de croisement.